Question

[SY NGUYEN]

cho đường tròn (O;R)và dây AB vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K,D thuộc cung nhỏ AB lấy M thuộc cung nhỏ BC,DM cắt AB tại F 

CM: tứ giác CKFM nội tiếp và DF.DM=AD^2

Answer 1

[Thanh Hoàng Thanh]

Xét (O):

CD là đường kính (gt).

\(M\in\left(O\right)\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{CMD}=90^o.\\ hay\widehat{CMF}=90^o.\)

Xét tứ giác CKFM:

\(\widehat{CMF}=90^o\left(cmt\right);\widehat{CKF}=90^o\left(CK\perp KF\right).\\ \Rightarrow\widehat{CMF}+\widehat{CKF}=180^o.\)

Mà góc ở vị trí đối nhau.

\(\Rightarrow\) Tứ giác CKFM nội tiếp đường tròn (dhnb).

Xét (O): 

CD là đường kính (gt).

\(A\in\left(O\right)\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=90^o.\)

Xét \(\Delta CAD\) vuông tại A, AK là đường cao:

\(AD^{\text{2}}=DK.DC\) (Hệ thức lượng). (1)

Xét \(\Delta DKF\) và \(\Delta DMC:\)

\(\widehat{DKF}=\widehat{DMC}\left(=90^o\right).\)

\(\widehat{KDF}chung.\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta DKF\) \(\sim\) \(\Delta DMC\left(g-g\right).\)

\(\Rightarrow\dfrac{DK}{DM}=\dfrac{DF}{DC}\) (2 cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow DK.DC=DF.DM.\) (2).

Từ (1) và (2). \(\Rightarrow DF.DM=AD^{\text{2}}.\)