Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC
=>OA vuông góc với BC
=>OH*OA=OB^2
b: Xét ΔABE và ΔAFB có
góc ABE=góc AFB
góc BAF chung
Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔAFB
=>AB/AF=AE/AB
=>AB^2=AE*AF=AH*AO
a: Xét tứ giác SAOB có góc SAO+góc SBO=180 độ
nên SAOB là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại B
=>AB vuông góc với BC(1)
Xét (O) có
SA là tiếp tuyến
SB là tiếp tuyến
DO đó: SA=SB
mà OA=OB
nên OS là đường trung trực của AB
=>OS vuông góc với AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra SO//CB
a) Ta có \(OD=OB\) và \(D,B,C\in\left(O;R\right)\)
\(\Rightarrow\) tam giác BCD vuông và vuông tại C
\(\Rightarrow\widehat{DCB}=90^0\) hay \(CD\perp BC\)
Mặt khác \(OH\perp BH\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow DC//OH\) mà \(H\in OA\) nên \(DC//OA\)
b) Ta có \(\Delta OCH=\Delta OBH\)
(cạnh huyền cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{COH}=\widehat{BOH}\) (2 góc tương ứng)
Lại có \(\Delta OCA=\Delta OBA\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OBA}\) (2 góc tương ứng)
mà \(\widehat{ABO}=90^0\) (AB là tiếp tuyến của (O))
nên \(\widehat{OCA}=\widehat{OBA}=90^0\)
và \(C\in AC;C\in\left(O;R\right)\)
\(\Rightarrow\) AC là tiếp tuyến của (O)
c) Ta có: HB = HC = BC : 2 = 24:2=12(cm)
và R = 15 (cm) nên Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta OAB\left(\widehat{OBA}=90^0\right)\)
thì AB = .... (cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào 2 tam giác vuông OCB và BAH, ta được:
OH = 9 (cm); HA = ....(cm)
mà OA = OH + HA = 9+.....= ... (cm)
Vậy AB=....(cm); OA =....(cm)
a: Xét tứ giác OBAC có góc OBA+góc OCA=180 độ
nên OBAC là tứ giác nội tiếp(1)
Xét tứ giác ODAC có
góc CAD+góc COD=180 độ
nên ODAC là tứ giác nội tiếp(2)
Từ (1) và (2) suy ra O,B,A,C,D cùng thuộc 1 đường tròn
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC
=>OA vuông góc với BC tại trung điểm của BC
a: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
ma OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
b: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đo: ΔBED vuông tại E
Xét ΔBAD vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
a) Vì AB là tiếp tuyến (O)
=> AB⊥OB
=> \(\widehat{ABO}\)\(=90^0\)
Vì AC là tiếp tuyến (O)
=> AC⊥OC
=>\(\widehat{ACO}\) \(=90^0\)
Ta có: \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}\) \(=90^0+90^0=180^0\)
=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\BO=CO\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) AO là đường trung trực ứng BC
\(\Rightarrow\) AO⊥BC ( mà E∈BC)
\(\Rightarrow\) BE⊥AO (đpcm)
Xét ΔABO có: \(\widehat{ABO}\) \(=90^0\) (cmtrn)
BE⊥AO (cmtrn)
\(\Rightarrow\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
\(\Rightarrow\) \(AO\cdot OE=OB^2\) (mà OB=R)
\(\Rightarrow OA\cdot OE=R^2\) (đpcm)
c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P
\(\Rightarrow PB=PK\)
Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q
\(\Rightarrow KQ=QC\)
Ta có: \(P_{APQ}=AP+PQ+AQ\) \(=AP+PK+KQ+AQ\)
\(\Leftrightarrow P_{APQ}=\left(AP+PB\right)+\left(QC+AQ\right)\)
\(\Leftrightarrow P_{APQ}=AB+AC\)
Vì \(AB+AC\) không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
\(\Rightarrow\) Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).
d) Tự CM: \(\Delta MOP\sim\Delta NQO\)
\(\Rightarrow\frac{MP}{NO}=\frac{MO}{NQ}\) \(\Leftrightarrow MP\cdot NQ=MO\cdot NO=\frac{MN}{2}\cdot\frac{MN}{2}\)
\(\Leftrightarrow MP\cdot NQ=\frac{MN^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow MN^2=4\cdot\left(MP\cdot NQ\right)\)
\(\Leftrightarrow MN=2\cdot\sqrt{MN\cdot NQ}\)
Áp dụng bđt Côshi ta có:
\(2\cdot\sqrt{MP\cdot NQ}\le MP+NQ\)
\(\Leftrightarrow MN\le MP+NQ\) (đpcm).
c) Xét ΔMAN có : \(\left\{{}\begin{matrix}AO\perp MN\\MO=NO=R\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Tam giác MAN cân tại A
\(\Rightarrow\) \(\widehat{M}=\widehat{N}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAN}+2\widehat{M}\)\(=180^0\) (!)
Vì tiếp tuyến OB cắt tiếp tuyến OK tại P
\(\Rightarrow\) OP là phân giác \(\widehat{BOK}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BOP}=\widehat{POK}\)
Vì tiếp tuyến OK cắt tiếp tuyến OC tại Q
\(\Rightarrow\) \(\widehat{KOC}=\widehat{QOC}\)
Ta có: \(\widehat{BOP}+\widehat{POK}+\widehat{KOQ}+\widehat{QOC}=\widehat{BOC}\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\widehat{POK}+2\widehat{KOQ}=\widehat{BOC}\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\widehat{POQ}=\widehat{BOC}\)
Vì tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (cmtrn)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAC}+\widehat{BOC}=\) \(180^0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{MAN}+2\widehat{POC}\) \(=180^0\) (!!)
Từ (!)(!!) \(\Rightarrow\) \(\widehat{M}=\widehat{POC}\)
Vì \(\widehat{PON}\) là góc ngoài của ΔQOM
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MPO}+\widehat{M}=\widehat{QON}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{MPO}+\widehat{M}=\widehat{NOQ}+\widehat{POQ}\) (mà \(\widehat{M}=\widehat{POQ}\))
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MPO}=\widehat{QON}\)
Xét ΔMOP∼ΔNQO vì :
\(\widehat{M}=\widehat{N}\) (cmtrn)
\(\widehat{MPO}=\widehat{QON}\) (cmtrn)
a) Ta có: \(\angle ABO+\angle ACO=90+90=180\Rightarrow ABOC\) nội tiếp
Vì AB,AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle BAC\)
\(\Rightarrow AO\bot BC\)
b) Ta có: \(\angle OME=\angle OBE=90\Rightarrow OMBE\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle OBM=\angle OEM\)
c) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle BAC\)
\(\Rightarrow H\) là trung điểm BC
Tương tự như câu b \(\Rightarrow\angle OFM=\angle OCM\)
mà \(\angle OBM=\angle OCM\) (\(\Delta OBC\) cân tại O)
\(\Rightarrow\angle OFM=\angle OEM\Rightarrow\Delta OFE\) cân tại O có \(OM\bot FE\)
\(\Rightarrow\) M là trung điểm FE
Xét \(\Delta HFM\) và \(\Delta BEM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}MH=MB\\MF=ME\\\angle HMF=\angle BME\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta HFM=\Delta BEM\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle HFM=\angle BEM\)
\(\Rightarrow HF\parallel BE\Rightarrow HF\parallel AB\) mà H là trung điểm BC
\(\Rightarrow F\) là trung điểm BC