Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
Mình không vẽ hình được mong bạn thông cảm
a, Vì tứ giác MANB nội tiếp
=>\(IN.IM=IA.IB=IA^2\)(I là trung điểm của AB)
Vậy IN.IM=IA^2
b,
VÌ AB là tiếp tuyến chắn cung AP của đường tròn O'
=>PAB=AMP
MÀ AMP=ABN (tứ giác AMBN nội tiếp)
=>PAB=ABN
MÀ I là trung điểm của AB
=> I là trung điểm của NP
=> tứ giác ANBP là hình bình hành
Vậy tứ giác ANBP là hình bình hành
c,Vì tứ giác ANBP là hình bình hành
nên \(AN//BP\)
=>NAB=ABP
Lại có NAB=NMB( tứ giác AMBN nội tiếp)
=>ABP=NMB
=> IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP
Vậy IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP
d,Từ G kẻ GK,GH lần lượt song song với AP,BP(\(K,H\in AB\))
=> \(\hept{\begin{cases}IK=\frac{1}{3}IA\\IH=\frac{1}{3}IB\end{cases}}\)và KGH=APB
MÀ I,A,B cố định
=> H,K cố định
Ta có APB=KGH
Mà APB =ANB( tứ giác ANBP là hbh)
=> KGH=ANB
MÀ AB cố định ,ANB là góc nội tiếp chắn cung AB =
=> ANB không đổi => KGH không đổi
MÀ K,H cố định
=> G thuộc cung tròn cố định
Vậy khi M di chuyển thì G thuộc cung tròn cố định
Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.
Dễ thấy ^BNA = 900. Suy ra \(\Delta\)BNA ~ \(\Delta\)BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA
Cũng dễ có \(\Delta\)BMA ~ \(\Delta\)BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK
Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 3600 - ^ANM - ^KNM
= (1800 - ^ANM) + (1800 - ^KNM) = ^ABM + (1800 - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA
=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A
=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)
Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)
Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const
Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi
=> Sin^IEL = const hay \(\frac{IL}{IE}=const\). Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi
Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).
