Question

[Đào Đặng Vũ Anh]

cho đường thẳng d: \(\dfrac{x+5}{2}\)= \(\dfrac{y-7}{-2}\)= \(\dfrac{z}{1}\) và điểm I(4;1;6).Đường thẳng d cắt mạt cầu (S) tâm I tại hai điểm A,B sao cho AB=6.Tìm Phương trìng của mặt cầu (S)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc với d \(\Rightarrow\left(P\right)\) có một vtpt \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\overrightarrow{u_d}=\left(2;-2;1\right)\)

\(\Rightarrow\) phương trình (P): \(2\left(x-4\right)-2\left(y-1\right)+1\left(z-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x-2y+z-12=0\)

Gọi M là giao điểm của d và (P) \(\Rightarrow IM\perp d\), pt tham số của d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+2t\\y=7-2t\\z=t\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt (P) ta được \(2\left(-2+2t\right)-2\left(7-2t\right)+t-12=0\) \(t=\dfrac{10}{3}\)

\(\Rightarrow\) tọa độ \(M\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3}\right)\)

\(\Rightarrow IM=\sqrt{\left(4-\dfrac{14}{3}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(6-\dfrac{10}{3}\right)^2}=2\sqrt{2}\)

Do d cắt mặt cầu tại A, B nên M là trung điểm của AB \(\Rightarrow MA=\dfrac{AB}{2}=3\)

Trong tam giác \(IMA\) vuông tại M, áp dụng Pitago:

\(R=IA=\sqrt{IM^2+MA^2}=\sqrt{9+8}=\sqrt{17}\)

\(\Rightarrow\) pt mặt cầu (S): \(\left(x-4\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-6\right)^2=17\)

Answer 2

[Đào Đặng Vũ Anh]

thank you