Question

[Hoàng thị kim Huế]

Cho đt tâm O đường kính AB cố định. Điểm M di động trên (O) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy điểm C là điểm đối xứng của O qua A. Đt vuông góc với AB tại C cắt đt AM tại N. Đt BN cắt (O) tại điểm thứ 2 E. BM cắt CN tại F. Chứng minh: A là trọng tâm tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

Answer 1

[Huân Bùi]

Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.

Dễ thấy ^BNA = 90⁰. Suy ra BNA ~ BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA 

Cũng dễ có BMA ~ BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK

Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 360⁰ - ^ANM - ^KNM

= (180⁰ - ^ANM) + (180⁰ - ^KNM) = ^ABM + (180⁰ - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA

=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A

=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)

Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)

Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const

Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi

=> Sin^IEL = const hay . Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi

Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).