K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

18 tháng 12 2018

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)(*)

Ta có : \(A=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)

\(\Rightarrow A=xyz\left(\dfrac{3}{xyz}\right)=3\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 9 2023

Lời giải:

Từ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

$\Rightarrow xy+yz+xz=0$

Khi đó:

$x^2+2yz=x^2+yz-xz-xy=(x^2-xy)-(xz-yz)=x(x-y)-z(x-y)=(x-z)(x-y)$

Tương tự với $y^2+2zx, z^2+2xy$ thì:

$P=\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$

$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=\frac{-[yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)]}{-[xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)]}=1$

12 tháng 5 2022

\(x,y,z\ne0\)

-Ta c/m: -Với \(a+b+c=0\) thì: \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0.\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\left(đpcm\right)\)

-Quay lại bài toán:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

\(A=\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\dfrac{y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3-3x^2y^2z^2+3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)\left[x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xyz\left(x+y+z\right)\right]}{x^2y^2z^2}+3=\dfrac{0.\left[x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xyz\left(x+y+z\right)\right]}{x^2y^2z^2}+3=3\)

24 tháng 9 2018

C/m: 1 bài toán nhỏ :

Cho \(a+b+c=0\) . CM : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Do \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

Lại có : \(a^3+b^3+c^3\)

\(=\left(a+b\right)^3-3a^2b-3b^2a+c^3\)

\(=-c^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\)

\(=-3ab\left(a+b\right)\)

\(=-3ab.\left(-c\right)\)

\(=3abc\)

Do \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) , áp dụng từ bài toán trên , ta được :

\(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=3.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}.\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{xyz}\)

Lại có : \(P=\dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}\)

\(=\dfrac{xyz}{z^3}+\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}\)

\(=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)

\(=xyz.\dfrac{3}{xyz}\)

\(=3\)

Vậy \(P=3\)

:D

NV
21 tháng 2 2019

Sửa lại đề: cho x, y, z dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}=1\)

Chứng minh \(A=\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)

Giải:

Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ac=1\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{bc}\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{\sqrt{\dfrac{1}{ac}\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{ab}\left(1+\dfrac{1}{c^2}\right)}}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+1}}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ab+bc+ac}}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)

NV
21 tháng 2 2019

Đề bài này có rất nhiều vấn đề, đầu tiên không có điều kiện x, y, z gì cả? Dương? Â? Bằng 0? Khác 0?

Sau nữa là chiều của BĐT cũng có vấn đề nốt, mình thử với \(x=y=2;z=\dfrac{4}{3}\) thì vế trái ra \(\dfrac{2+\sqrt{30}}{5}\) mà theo casio cho biết thì số này nhỏ hơn \(\dfrac{3}{2}\) , vậy BĐT cũng sai luôn

26 tháng 11 2017

Từ \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}=0\left(1\right)\\1+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}=0\left(2\right)\\1+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

\(\Rightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}=0\)

\(\Rightarrow A+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}=0\)

Cộng theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)suy ra:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}=-3\)

\(\Rightarrow A-3=0\Rightarrow A=3\)

NV
12 tháng 3 2021

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Rightarrow yz=-xy-zx\Rightarrow\dfrac{yz}{x^2+2yz}=\dfrac{yz}{x^2+yz-xy-zx}=\dfrac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{xz}{y^2+2xz}=\dfrac{xz}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}\) ; \(\dfrac{xy}{z^2+2xy}=\dfrac{xy}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{-yz\left(y-z\right)-zx\left(z-x\right)-xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=1\)

22 tháng 2 2022

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

A=\(xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{3}{xyz}+\dfrac{3}{xyz}\right)=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\)

bạn tự chứng minh \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{3}{xyz}=0\) nha

đặt \(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b;\dfrac{1}{z}=c\)

bài toán thành \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\) nha

 

 

22 tháng 2 2022

lần sau bạn trình bày rõ hơn nhé

hơi khó hiểu