Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1.
Vì \(\sqrt{2},\left(\sqrt{2}\right)^2,...,\left(\sqrt{2}\right)^n\) lập thành cấp số nhân có \(u_1=\sqrt{2}=q\) nên
\({u_n} = \sqrt 2 .\dfrac{{1 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}{{1 - \sqrt 2 }} = \left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n} - 1} \right] \to \lim {u_n} = + \infty \) vì \(\left\{{}\begin{matrix}a=2-\sqrt{2}>0\\q=\sqrt{2}>1\end{matrix}\right.\)
Câu 3.
Ta có biến đổi:
\(\lim \left( {\dfrac{{{n^2} - n}}{{1 - 2{n^2}}} + \dfrac{{2\sin {n^2}}}{{\sqrt n }}} \right) = \lim \dfrac{{{n^2} - n}}{{1 - 2{n^2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Câu 1:
$S=1+\cos ^2x+\cos ^4x+...+\cos ^{2n}x=1+\cos ^2x+(\cos ^2x)^2+...+(\cos ^2x)^n=\frac{(\cos ^2x-1)(1+\cos ^2x+(\cos ^2x)^2+...+(\cos ^2x)^n}{\cos ^2x-1}$
$=\frac{(\cos ^2x)^{n+1}-1}{\cos ^2x-1}=\frac{\cos ^{2n+2}x-1}{\sin ^2x}$
a) Ta có:
u1 = 2, u2 = 2u1 – 1 = 3, u3 = 2u2 – 1= 5
u4 = 2u3 -1 = 9, u5 = 2u4 – 1= 10
b) Với n = 1, ta có: u1 = 21-1 + 1 = 2 : đúng
Giả sử công thức đúng với n = k. Nghĩa là: uk = 2k-1 + 1
Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,
Nghĩa là chứng minh:
Uk+1 = 2(k+1)-1 + 1 = 2k + 1
Ta có: uk+ 1 = 2uk – 1 = 2(2k -1+ 1) -1 = 2.2k -1 + 2 – 1 = 2k + 1 (đpcm)
Vậy un = 2n-1 + 1 với mọi n ∈ N*
\(lim\left(u_n\right)=lim\left(\frac{n}{n^2+1}\right)=lim\left(\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}\right)=\frac{0}{1}=0\)
b/
\(-1\le cos\frac{\pi}{n}\le1\Rightarrow-\frac{n}{n^2+1}\le v_n\le\frac{n}{n^2+1}\)
Mà \(lim\left(-\frac{n}{n^2+1}\right)=lim\left(\frac{n}{n^2+1}\right)=0\)
\(\Rightarrow lim\left(v_n\right)=0\)
Câu 1.
\(y = \dfrac{{n + \sin 2n}}{{n + 5}} = \dfrac{{\dfrac{n}{n} + \dfrac{{\sin 2n}}{n}}}{{\dfrac{n}{n} + \dfrac{5}{n}}} = \dfrac{{1 + \dfrac{{2.\sin 2n}}{{2n}}}}{{1 + \dfrac{5}{n}}}\\ \Rightarrow \lim y = \dfrac{{1 + 0}}{{1 + 0}} = 1 \)
Câu 2.
\(\lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}\)
Vì \( - 1 \le \sin n \le 1; - 1 \le \cos n \le 1 \Rightarrow \) khi \(x \to \infty \) thì \(3\sin n + 4{\mathop{\rm cosn}\nolimits} = const \)
\(\Rightarrow T = \lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} = 0 \)
Chú thích: $const$ là kí hiệu hằng số, giống như dạng giới hạn L/vô cùng.
Chọn B
Ta có u2=u1, u3=2u2, u4=3u3, u5=4u4=48