Question

[Nguyễn Thị Ngọc Linh]

Cho dãy số: \(10,10^2, 10^3,...,10^{20} \)Chứng minh tồn tại 1 số chia 19 dư 1.

Answer 1

[Lê Quỳnh Trang]

Theo nguyên lý Di-rich-le ta suy ra: Tồn tại hai số trong 20 số khi chia cho 19 có cùng số dư. Suy ra hiệu của hai số đó chia hết cho 19.

Giả sử 10ⁿ, 10^m là hai số có cùng số dư khi chia cho 19 (1 ≤ n < m ≤ 20).

• 10^m – 10ⁿ ⋮ 19
• 10ⁿ.(10^m-n – 1) ⋮ 19, mà 10ⁿ không chia hết cho 19 nên suy ra:

10^m-n – 1 ⋮ 19

• 10^m-n – 1 = 19k (k ∈ N)
• 10^m-n = 19k + 1 (đpcm).