Question

[Nguyễn Thanh Thảo]

Cho ΔABC vuông tại A, đường trung tuyến CM.

a) Cho biết BC = 10cm, AC = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM.

b) Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh rằng ΔMAC = ΔMBD và AC = BD.

c) Chứng minh rằng AC + BC > 2CM.

d) Gọi K là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho . Gọi N là giao điểm của CK và AD, I là giao điểm của BN và CD. Chứng minh rằng: CD = 3ID.

Answer 1

[Lê Thanh Vy]

a) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tamgiac vuông ABC có:

AB² = BC² - AC²

Thay: AB² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64

Nên AB = 8 ( cm )

Ta có: CM là đường trung tuyến

=> AM = BM

Mà AM + BM = AB

=> 2.BM = 8 <=> BM = 4 (cm)

Vậy BM = 4 (cm)

b) Xét 2 tam giác AMC và BMD, có:

AM = BM (vì CM là trung tuyến)

CM = DM (gt)

góc AMC = góc BMD (đ.đ)

=> tamgiac AMC = tamgiac BMD ( c.g.c)

Nên AC = BD (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: CD = CM + DM

Mà CM = DM ( gt )

=> CD = 2.CM

Trong tamgiac BDC có:

BC + BD > CD ( bất đẳng thức tamgiac)

Hay BC + BD > 2.CM (cmt)

Mà BD = AC

=> BC + AC > 2.CM ( đpcm)

d) Thêm đề: Gọi K là điểm nằm trên đoạn thẳng AM sao cho AK = \(\dfrac{2}{3}\) AM

Vì AK = \(\dfrac{2}{3}\) AM

=> K là trọng tâm

Hay CM đi qua K là đường trung tuyến

=> AN = DN

Mà N \(\in\) AD

=> BN là đường trung tuyến (1)

Mặt khác: BM = AM => DM là đường trung tuyến (2)

Ngoài ra I là giao điểm BN và DM (3)

Từ (1) (2) (3)

=> I là trọng tâm tamgiac DAB

=> \(ID=\dfrac{2}{3}DM\)

Hay: \(DM=\dfrac{3}{2}ID\)

Mà: CD = 2.DM

=> \(CD=2.\dfrac{3}{2}ID=3.ID\)(đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Thị Thu]

a. Áp dụng định lí pytago vào \(\Delta\)ABC (\(\widehat{A}\)=90^o) có:

AB=\(\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\) (cm)

Vì MA=MB (CM là đường trung tuyến của tam giác ABC) nên:

MB=\(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}\) =4 (cm)

Vậy AB=8cm và MB=4cm

b. Xét \(\Delta\)MAC và \(\Delta\)MBD có:

MA=MB (CM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

\(\widehat{AMC}=\widehat{BMD}\) (Đối đỉnh)

MC=MD (GT)

\(\Rightarrow\Delta\)\(MAC=\Delta\)MBD (c.g.c)

=> AC=BD