Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O A B C D E
a, vì \(AD\) là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\) \(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)
mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\)
\(\Rightarrow\Delta ABD~\Delta AEC\) (g-g)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}\Leftrightarrow AB.AC=AE.AD\)
b, Ta có :
\(\widehat{EBD}=\widehat{EBC}=\widehat{EAC}=\widehat{BAE}\)
\(\Rightarrow\Delta EBD~\Delta EAB\)(g-g)
\(\Rightarrow\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EB}\Leftrightarrow ED.EA=EB^2\)
a)xét ΔABE và ΔADC có :
BÅE = DÅC (gt)
AEB=ACB=ACD(cùng chắn cung AB)
=>ΔABE≈ΔADC(g.g)
⇒\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AB}{AD}\)(hai cạnh t.ứ)
⇒AE.AD=AC.AB
b)Xét ΔBED và ΔAEB có :
góc E chung
góc EBD=gócEAC=gócEAB
⇒ΔBED ≈ ΔAEB(g.g)
⇒\(\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EB}{EA}\)(hai cạnh t.ứ)
⇒ED.EA=EB2
A B O C E F D I H K M J
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AE = EC; BF = FC
Vậy nên AE + BF = EC + CF = EF
b) Xét tam giác vuông BAD có AC là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:
\(DA^2=DC.DB\)
c) Ta thấy rằng \(\Delta DCA\sim\Delta DAB\Rightarrow\frac{DA}{DB}=\frac{CA}{AB}\)
Lại có AB = 2OB; AC = 2AH.
Vậy nên \(\frac{DA}{DB}=\frac{2.AH}{2.OB}=\frac{AH}{OB}\)
Ta cũng có \(\widehat{DAH}=\widehat{DBO}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{BCA}\) )
Nên \(\Delta DAH\sim\Delta DBO\Rightarrow\widehat{DHA}=\widehat{DOB}\)
Mà \(\widehat{DHA}=\widehat{IHK}\) nên \(\widehat{DOB}=\widehat{IHK}\)
Xét tứ giác HIOK có \(\widehat{DOB}=\widehat{IHK}\) nên HIOK là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{HIK}=\widehat{HOK}\)
\(\widehat{HIK}+\widehat{HAK}=\widehat{HOK}+\widehat{HAK}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AKI}=90^o\Rightarrow IK\perp AB\)
d) Từ A kẻ AJ song song với BD cắt BF tại J.
Khi đó ta thấy ngay ADBJ là hình bình hành. Vậy thì DJ giao với AB tại trung điểm mỗi đường hay O là trung điểm của AB và DJ.
Vậy ta có D, O , J thẳng hàng.
Xét tam giác AFJ có \(AB\perp FJ\)
\(FO\perp BC\) mà BC // AJ nên \(FO\perp AJ\)
Vậy thì O là trực tâm tam giác AFJ hay \(JO\perp AF\) (1)
Xét tam giác AIO có \(IK\perp AO;OH\perp AI\Rightarrow\) M là trực tâm tam giác.
Vậy thì \(AM\perp IO\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M , F thẳng hàng.
a) Ta có: \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^o\)
=> OBAC nội tiếp
b) Xét tam giác AEB và tam giác ABD
Có: \(\widehat{BAD}\)chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{ABE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)
=> Tam giác AEB đồng dạng tam giác ABD (g.g)
=> \(\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AD}\)=>AB2=AE.AD (đpcm)
c) Kẽ BE cắt AC tại S
CE cắt AB tại P
Ta có:\(\hept{\begin{cases}\widehat{BEP}=\widehat{CES}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\\\widehat{AEP}=\widehat{CED}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CD}\end{cases}}\)(1)
Mặt khác: \(\hept{\begin{cases}\widehat{BDC}=\widehat{BCA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\\\widehat{DBC}=\widehat{BCA}\left(slt\right)\end{cases}}\)
=> \(\widehat{BDC}=\widehat{DBC}\)
=> Tam giác BDC cân tại C
=> CD=BC
=> \(\widebat{CD}=\widebat{BC}\)(2)
Từ (1),(2) => \(\widehat{BEP}=\widehat{AEP}\)
=> Tia đổi của tia EC là tia phân giác của góc BEA
Ta có: \(\widehat{CDF}=\widehat{CAD}\) (cùng chắn AD)
\(\widehat{CAD}=\widehat{BAD}\) (AD là phân giác)
\(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn BD)
\(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{BCD}\)
\(\Rightarrow BC||EF\) (hai góc so le trong bằng nhau)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\Rightarrow AB.AF=AC.AE\)
Cũng từ BC song song EF \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{AFD}\) (đồng vị)
Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\) (cùng chắn AB)
\(\Rightarrow\widehat{AFD}=\widehat{ADB}\)
Xét 2 tam giác AFD và ADB có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FAD}=\widehat{DAB}\left(\text{AD là phân giác}\right)\\\widehat{AFD}=\widehat{ADB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AFD\sim\Delta ADB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\Rightarrow AB.AF=AD^2\)
\(\Rightarrow AB.AF=AC.AE=AD^2\)