Question

[Nguyễn Lê Diễm My]

Cho ΔABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:

a) GH đi qua trung điểm M của BC.

b) ΔABC ∼ ΔAEF.

c) BDF = CDE

d) H cách đều các cạnh của tam giác ΔDEF.

HELP ME. THANK YOU SO MUCH

Answer 1

[Nguyễn Thành Trương]

a)Ta có: $BG\bot AB,CH\bot AB\Rightarrow BG||CH$

Tương tự: $BH\bot AC,CG\bot AC\Rightarrow BH||CG$

Tứ giác $BGCH$ có các cặp cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo $GH$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy $GH$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$

b) Do $BE$ và $CF$ là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác $ABE$ và $ACF$ vuông. Hai tam giác vuông $ABE$ và $ACF$có chung góc A nên chúng đồng dạng.

Suy ra: $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AF}{AC}\left( 1 \right)$

Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\Delta ABC\sim \Delta AEF$

c) Chứng minh tương tự ta được: $\Delta BDF\sim \Delta BAC,\Delta EDC\sim \Delta BAC$, suy ra $\Delta BDF\sim \Delta DEC\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{CDE}$

d) Ta có: $\widehat{BDF}=\widehat{CDE}\Rightarrow {{90}^{o}}-\widehat{BDF}={{90}^{o}}-\widehat{CDE}$

$\Rightarrow \widehat{AHB}-\widehat{BDF}=\widehat{AHC}-\widehat{CDE}\Rightarrow \widehat{ADF}-\widehat{ADE}$

Suy ra DH là tia phân giác góc EDF.

Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD

Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF.

Vậy H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF.