Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\leq \left(\frac{x+1+x^2-x+1}{2}\right)^2=\frac{(x^2+2)^2}{4}$
$\Rightarrow \sqrt{x^3+1}\leq \frac{x^2+2}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq \frac{2}{x^2+2}$. Tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
$\sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2\sum \frac{1}{x^2+2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{1}{x^2+2}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+6}=\frac{9}{12+6}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\geq 2.\frac{1}{2}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
Lời giải:
a. Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
b.
Áp dụng BĐT phần a vô:
$x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Đề bài chắc chắn là có vấn đề
Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)
Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra
Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế
Nhưng đẳng thức không xảy ra.
\(x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Bổ đề:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Ta có:\(\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Tương tự ta có:\(\dfrac{1}{2y+z+x}\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)
\(\dfrac{1}{2z+x+y}\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Cộng vế với vế ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{2y+z+x}+\dfrac{1}{2z+x+y}\le\dfrac{1}{16}\left[4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\right]=\dfrac{1}{16}.4.4=1\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
đặt\(A=\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(=>A=\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\dfrac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\dfrac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
BBDT AM-GM
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
theo BDT AM -GM ta chứng minh được \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
vì \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(x^2+z^2\ge2xz\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)< =>xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{10}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{10}=\dfrac{1}{30}\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x và \(\sqrt{1-y^2}\) có:
x\(\sqrt{1-y^2}\) ≤ \(\dfrac{x^2+1-y^2}{2}\)
Tương tự: \(y\sqrt{1-z^2}\le\dfrac{y^2+1-z^2}{2}\); \(z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{z^2+1-x^2}{2}\)
=> \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-y^2+y^2+1-z^2+z^2+1-x^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) => x2 = y2 = z2 = \(\dfrac{1}{2}\)
=> x2 + y2 + z2 = 3x2 = 3.\(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{2}\)
Đề bài thiếu dữ kiện rồi>>>