Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
6) Ta có
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2xz+yz+2xy+zx+2yz}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
\(M=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)+\left(y^2-1\right)\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{x^3+x^2-x-1+y^3+y^2-y-1}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+y^2\right)-\left(x+y\right)-2}{xy+x+y+1}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2-2xy-\left(x+y\right)-2}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+x^2\left(x+y\right)+y^2\left(x+y\right)-2xy\left(x+y\right)-2\left(x+y\right)-2xy-2}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+\left(x^2+y^2-2xy\right)\left(x+y\right)-2\left(x+y+xy+1\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y-2\right)\left(x+y+xy+1\right)+\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}=x+y-2+\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}\)
x,y nguyên do đó để \(M\)nguyên thì \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)chia hết cho \(xy+x+y+1\)
Dễ thấy \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)không thể phân tích thành nhân tử \(xy+x+y+1\)nữa nên \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)=0\)
Suy ra:
\(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=-y\end{cases}}\)
Vậy:
\(x^2y^2-1=x^2.x^2-1=x^4-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)chia hết cho \(\left(x+1\right)\)
Vậy ta có đpcm
Bài 1: Chỉ cần chú ý đẳng thức \(a^5+b^5=\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)-a^2b^2\left(a+b\right)\) là ok!
Làm như sau: Từ \(x^2+\frac{1}{x^2}=14\Rightarrow x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=16\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=16\). Do \(x>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}=4\)
: \(x^5+\frac{1}{x^5}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(=14\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(=14\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)-4\)
\(=14.4.\left(14-1\right)-4=724\) là một số nguyên (đpcm)
P/s: Lâu ko làm nên cũng ko chắc đâu nhé!
2,a A+4=4+(5x^2+6x+1)/x^2=(9x^2+6x+1)/x^2=(3x+1)^2/x^2 >/ 0 với mọi x
=>A >/ -4 =>minA=-4 , đẳng thức xảy ra khi x=-1/3
2,b dễ c/m bđt : x^3+y^3 >/ (x+y)^3/4,khai triển hết ra còn 3(x-y)^2 >/ 0 ,đẳng thức xảy ra khi x=y
x^6+y^6=(x^2)^3+(y^2)^3 >/ (x^2+y^2)^3/4=1/4 ,đẳng thức xảy ra khi x=y=1/căn(2)
2,c (a^3-3ab^2)^2=a^6-6a^4b^2+9a^2b^4=5^2=25
(b^3-3a^2b)^2=b^6-6a^2b^4+9a^4b^2=10^2=100
Cộng theo vế đc a^6+b^6+3a^2b^4+3a^4b^2=(a^2+b^2)^3=25+100=125 =>S=a^2+b^2=5
Lũy thừa các số thực mang dấu duong khi số mũ chẵn .
Mà 2 là số chẵn
=> x^2 dương ; y^2 dương .
Số dương nhân với số dương ta luôn được kết quả là số dương
=> x^2y^2 dương
Vì số dương thuộc tập hợp các số nguyên nên x^2y^2 nguyên