Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\dfrac{6x+6y+2xy}{2}=\dfrac{6x+6y+2xy+10-10}{2}\)
\(=\dfrac{6x+6y+2xy+2\left(x^2+y^2\right)+6}{2}-5\)
\(=\dfrac{\left(x+y+2\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-5\ge-5\)
\(P_{min}=-5\) khi \(x=y=-1\)
Lời giải:
$A=(x+y)(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2+y^2)+(x-y)^2$
$\geq 2(x^2+y^2)=(1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2=2^2=4$ (theo BĐT Bunhiacopxky)
Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
https://tuhoc365.vn/qa/cho-bieu-thuc-p-a4-b4-ab-voi-ab-la-cac-so-thuc-thoa-man-a2-b2-ab-3-tim-gia-tri-lon/
Bạn có thể tham khảo ở đây nha.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=3\left(2a+2b+2c\right)=3.2\left(a+b+c\right)=6.2021=12126\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{12126}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
\(Q=ac+bc-2022ab\le ac+bc=c\left(a+b\right)\le\dfrac{1}{4}\left(c+a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(Q_{max}=\dfrac{1}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\ab=0\\c=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right);\left(\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(Q=c\left(a+b\right)-2022ab\ge c\left(a+b\right)-\dfrac{1011}{2}\left(a+b\right)^2\)
\(Q\ge c\left(1-c\right)-\dfrac{1011}{2}\left(1-c\right)^2\)
\(Q\ge c\left(1-c\right)-\dfrac{1011}{2}c\left(c-2\right)-\dfrac{1011}{2}\)
\(Q\ge\dfrac{c\left(1011+1013\left(1-c\right)\right)}{2}-\dfrac{1011}{2}\ge-\dfrac{1011}{2}\)
\(Q_{min}=-\dfrac{1011}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\)
\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)
\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a
Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3
Vì a , b , c ≥ 1 , nên ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b
Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a
Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6
Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18
⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1