K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 7 2017

\(P=\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{y^2+y}+\dfrac{1}{z^2+z}\)

\(=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}+\dfrac{1}{y\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{z\left(z+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z+1}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) và BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:

\(P\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+1+\dfrac{1}{y}+1+\dfrac{1}{z}+1\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}\)

\(\ge\dfrac{3}{4}\left[\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right]-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{9}{3}-1\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1.

Min P = 1,5 <=> x = y = z = 1.

13 tháng 7 2017

T xài phương pháp chuẩn hóa thử, lên C3 có gặp mấy bài này chém dễ dàng, có sai thì đừng ném đá nha :vv.

Ta chứng minh BĐT sau:

\(\dfrac{1}{x^2+x}\ge-0,75x+1,25\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\) ( Để ra cái BĐT này t dùng casio, ra cái này là ra hết bài :D )

Thật vậy: \(\dfrac{1}{x^2+x}+0,75x-1,25\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+0,75x\left(x^2+x\right)-1,25\left(x^2+x\right)}{x^2+x}\ge0\)

\(\Rightarrow1+0,75x^3+0,75x^2-1,25x^2+1,25x\ge0\)

\(\Rightarrow0,75\left(x-1\right)^2\left(x+\dfrac{4}{3}\right)\ge0\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\) (BĐT này luôn đúng)

Tương tự: \(\dfrac{1}{y^2+y}\ge-0,75y+1,25\)

\(\dfrac{1}{z^2+z}\ge-0,75z+1,25\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh, ta được: \(P\ge-0,75\left(x+y+z\right)+1,25.3\)

\(P\ge1\)

Vậy Min P =1 khi x=y=z =1

24 tháng 5 2022

\(x,y,z>0\)

Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)

\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)

\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)

Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:

\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)

\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)

\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(P_{min}=0\)

NV
10 tháng 1 2021

\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)

\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)

\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

4 tháng 8 2021

còn cách làm khác không ạ?

 

19 tháng 12 2020

Từ \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) ta có:

\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\).

Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0

\(\Leftrightarrow x=-y\)

\(\Leftrightarrow x^3=-y^3\).

Kết hợp với \(x^3+y^3+z^3=1\) ta có \(z^3=1\Leftrightarrow z=1\).

Vậy \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1}=1\).

 

 

8 tháng 1 2021

Đặt \(\dfrac{x}{z}=a;\dfrac{y}{z}=b\).

Theo gt ta có \(a+b\le1\).

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^2+b^2+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{21}{2}\).

Theo bđt AM - GM: \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge2;a^2+\dfrac{1}{16}a^2\ge\dfrac{1}{2};b^2+\dfrac{1}{16}b^2\ge\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge\dfrac{15}{2}\).

Cộng vế với vế của các bđt trên lại ta có đpcm.

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2021

Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!

13 tháng 3 2021

Thầy ơi, nhưng câu này là đề thi huyện chỗ em á thầy, em cũng chả biết làm sao nữa, chả nhẽ đề thi huyện lại sai:"(

* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )

Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)

Chứng minh tương tự khi đó :

\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)

\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)

\(\Rightarrow P\le2016\)