Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)
\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)
vì x+y+z=1nên
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)
nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)
dau = xay ra khi x=y=z=1/3
Câu hỏi của Tuấn Anh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
\(VT=\frac{x^2}{x^3-xyz-2013x}+\frac{y^2}{y^3-xyz-2013y}+\frac{z^2}{z^3-xyz-2013z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz-2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3\left[\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\right]}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)=VP
đúng rồi ạ nhưng chỉ cần c/m đẳng thức phụ như thế này thôi ạ\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) =>\(\frac{\left(a+b\right)2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) hay \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) là xong
Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)( tự c/m)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}=\frac{x^2}{x+xy^2}+\frac{y^2}{y+x^2y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y+x^2y+xy^2}=\frac{2^2}{2+xy\left(x+y\right)}=\frac{4}{2+2xy}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)( tự c/m)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}\ge\frac{4}{2+2xy}\ge\frac{4}{2+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{2+2}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1
Một lời giải rất quen thuộc đó là dùng cô si ngược dấu:
\(x.\frac{1}{1+y^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\ge x\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x-\frac{xy}{2}\)
Tương tự,ta cũng có: \(\frac{y}{1+x^2}\ge y-\frac{xy}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên và áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\),ta được:
\(VT\ge\left(x+y\right)-xy\ge2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=2-1=1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
Đặt biểu thức trên là A
\(A=x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}+2xy\ge2\sqrt{\left(x-y\right)^2\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}}+2xy\)
\(=2\sqrt{\left(xy-1\right)^2}+2xy\)
\(=2\left|xy-1\right|+2xy\)
Áp dụng bđt Cô si
- Nếu thấy \(xy\ge1\Rightarrow A\ge2xy-2+2xy=4xy-2\ge2\)
- Nếu \(xy< 1\Rightarrow A>-2xy+2+2xy=2\)
Vậy : \(A\ge2\left(đpcm\right)\)
Ta có:Xét hiệu \(x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2-2=\left(x-y\right)^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2+2\left(xy-1\right)\ge0\)
\(=\left(x-y+\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge2\left(đpcm\right)\)
\(\dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} = \dfrac{2}{{2xy}} + \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} = 2\left( {\dfrac{1}{{2xy}} + \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) \ge 2\dfrac{4}{{2{x^2} + 2xy + {y^2}}} = \dfrac{8}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
phần sau là sử dụng BĐT svacxơ phải ko bạn