A
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
4 tháng 11 2019
\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
HF
16 tháng 10 2019
\(\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}\) (1)
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc}\)
Lại có: \(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc=\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)\)
Thay vào -> dpcm
17 tháng 10 2019
\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Chúc bạn học tốt !!!
PN
7 tháng 12 2020
bạn dung bđt a+b >= 2 căn ab ( cô si ) nhé
cách là ghép từng cặp ở vế trái lại
7 tháng 12 2020
Ta có: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}\) (Cauchy)
\(=\frac{1}{2}\cdot2b+\frac{1}{2}\cdot2c+\frac{1}{2}\cdot2a\)
\(=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
L
1
PA
16 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel và BĐT AM - GM, ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ac}+\frac{c^5}{ab}\)
\(=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\)
\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)
\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(=a^3+b^3+c^3\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
14 tháng 6 2017
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{1}{abc}\left(a^6+b^6+c^6\right)\)
\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)
TD
Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR:
\(\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\ge a+b+c\)
0
22 tháng 9 2020
Đặt đẳng thức là A. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\sqrt{2b\left(a-b\right)}\le\frac{2b+\left(a+b\right)}{2}=\frac{a+3b}{2}\)
Từ đó: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\)
Ta sẽ chứng minh: \(M=\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
Thật vậy, ta có: \(M=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ca}\)
Theo BĐT AM-GM ta có:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT cauchy ta được:
\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Vì vậy: \(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
Từ đó ta có: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\ge2\sqrt{2}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Vậy đẳng thức xảy xa khi và chỉ khi a=b=c
#)Giải :
Áp dụng BĐT Cauchy :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2.\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được :
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\left(2\right)\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\)\(\Rightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)