Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(6=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\)
\(\ge4+\frac{c\left(a^3+b^3\right)}{a^2b^2}\ge4+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\in\text{(}0;2\text{]}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lại có:
\(P\ge\frac{\left(bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)\(\ge\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)
\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left(1+\frac{ca}{ab}+\frac{bc}{ab}\right)^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)
\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left[1+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\right]^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)
Đặt \(x=\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\left(x\in\text{(}0;2\text{]}\right)\) khi đó ta có:
\(P\ge\frac{3x^2}{2\left(1+x\right)^2}+\frac{4}{x}\) cần chứng minh \(P\ge\frac{8}{3}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(7x^2+22x+12\right)\le0\forall x\in\text{(0;2]}\)
Vậy \(Min_P=\frac{8}{3}\) khi a=b=c=2
a,a=b+1
suy ra a-b=1 suy ra(\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\))(\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\))=1
suy ra \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)=\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)(1)
vì a=b+1 suy ra a>b suy ra \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)suy ra \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>2\sqrt{b}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)(2)
từ (1) ,(2) suy ra\(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)suy ra \(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)(*)
ta lại có b+1=c+2 suy ra b-c =1 suy ra\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=1\)
suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)
vì b>c suy ra \(\sqrt{b}>\sqrt{c}\) suy ra \(\sqrt{b}+\sqrt{c}>2\sqrt{c}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\)(4)
Từ (3),(4) suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\) suy ra\(2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)< \frac{1}{\sqrt{c}}\)(**)
từ (*),(**) suy ra đccm
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Đặt \(x=\frac{2}{a};\) \(y=\frac{4}{b};\) \(z=\frac{1}{c}\)
(Vì \(a,b,c\in R^+\) nên suy ra \(x,y,z>0\) )
Khi đó, điều kiện (giả thiết) đã cho trở thành \(\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=6\) \(\left(\text{*}\right)\)
Với điều kiện mà \(x,y,z\) nhận được trên thì ta dễ dàng chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Do đó, \(\frac{x^3+y^3}{xyz}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{xyz}=\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác, nhờ vào bđt Cauchy và yếu tố chủ chốt là \(x,y>0\), ta có đánh giá sau: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
nên \(6=\frac{x^3+y^3}{xyz}+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{x+y}{z}+4\)
\(\Rightarrow\) \(0< \frac{x+y}{z}\le2\)
\(--------------\)
Ta có:
\(P=\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{4z}{x+y}\ge\frac{x^2}{xy+2xz}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{4z}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+2z\left(x+y\right)}+\frac{4z}{x+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2z\left(x+y\right)}+\frac{4z}{x+y}=\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+4z}+\frac{4z}{x+y}\)
Tóm lại: \(P\ge\frac{\frac{2\left(x+y\right)}{z}}{\frac{x+y}{z}+4}+\frac{4}{\frac{x+y}{z}}\)
\(--------------\)
Đặt \(t=\frac{x+y}{z}\) \(\left(0< t\le2\right)\). Ta biểu diễn bất đẳng thức trên dưới dạng biến \(t\) như sau:
\(P\ge\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t}=\frac{2t}{t+4}+\frac{4}{t+4}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{64t}{t\left(t+4\right)^3}}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\)
\(\ge\frac{12}{t+4}+\frac{8}{t\left(t+4\right)}\ge\frac{12}{2+4}+\frac{8}{2.6}=\frac{8}{3}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\\frac{x+y}{z}=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z\) \(\Leftrightarrow\) \(2a=b=4c\)
Vậy, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{8}{3}\) khi \(2a=b=4c\)
Đặt \(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}=k\)
\(\Rightarrow a=2014k;b=2015k;c=2016k\)
\(\Rightarrow4(a-b)(b-c)=4(2014k-2015k)(2015k-2016k)\)
\(\Rightarrow4\cdot k(2014-2015)\cdot k(2015-2016)=4\cdot k\cdot(-1)\cdot k\cdot(-1)=4\cdot k^2\)
\(\Rightarrow(c-a)(c-a)=(c-a)^2=(2016k-2014k)=[k(2016-2014)]^2=(k\cdot2)^2=k^{2\cdot4}\)
Rồi tự suy ra đấy
Bạn Namikaze Minato làm đúng rồi đấy
\(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}=\frac{a-b}{2014-2015}\)
\(=\frac{b-c}{2015-2016}=\frac{c-a}{2016-2014}\)
\(=\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)
\(\Rightarrow a-b=-\frac{c-a}{2};b-c=-\frac{c-a}{2}\)
do đó: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow M=4\left(a-b\right)\left(b-c\right)-\left(c-a\right)^2=0\)