Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Trong tam giác OIK có:
|OK −− OI| < IK < |OK + OI| hay ∣R−r∣<IK<∣R+r∣∣R−r∣<IK<∣R+r∣.
Vậy hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Dễ thấy tứ giác OMCN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OM = OI + IM = OI + OK;
ON = OK + KN = OK + OI.
Vậy OM = ON hay hình chữ nhật OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của BK và MC là L và giao điểm của AB với MC là P.
Tứ giác IBKO là hình chữ nhật. Suy ra IB = OK.
Tứ giác MLBI là hình vuông nên ML = BI, BL = OK.
Từ đó suy ra ΔBLP=ΔKOIΔBLP=ΔKOI. Vì vậy LP = OI.
Suy ra MP = ON = MC. Hay điểm C trùng với P.
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Nếu OI + OK = a (không đổi) thì OM = MC = a không đổi. Suy ra điểm C cố định.
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm C cố định.
Cho đường tròn tâm OO đường kính MNMN và AA là một điểm trên đường tròn (O)(O), (AA khác MM và AA khác NN). Lấy một điểm II trên đoạn thẳng ONON (II khác OO và II khác NN). Qua II kẻ đường thẳng (d)(d) vuông góc với MNMN. Gọi PP, QQ lần lượt là giao điểm của AMAM, ANAN với đường thẳng (d)(d). Gọi KK là điểm đối xứng của NN qua điểm II. Chứng minh góc PMK = IQN\widehat{PMK}=\widehat{IQN}
và tứ giác MPQKMPQK nội tiếp đường tròn.
Xét 2 tam giác AMN và IQN có :
góc A= goc QIN= 90 (gt)
=> goc M= IQN= 90 - goc N (đpcm)
Xet 2 tam giác IQK và IQN có:
IQ chung
vì K là điểm đối xứng của NN qua điểm II
=> IK =IN
góc QIK = QIN=90
=> 2 tam giác IQK = IQN (c.g.c)
=> góc IQK=IQN=PQA=PMK
trong đó góc PQK + IQN = 180
=> góc PQK + PMK = 180
=> đpcm
2) Em nhầm đề ca/b+1
Ta có:
VT = \(\frac{ab}{c+a+b+c}+\frac{bc}{a+a+b+c}+\frac{ac}{b+a+b+c}\)
=\(\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
=\(\frac{ab}{4}.\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}+\frac{bc}{4}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{ac}{4}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ac}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=\(\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a= b = c =1/3