Question

[Phạm Gia Bảo]

Cho A=\(\sqrt{\left(a^2+\frac{4}{a^2}\right)^2-8\left(a+\frac{2}{a}\right)^2+48}\)

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

ĐKXĐ: \(a\ne0\)

\(A=\sqrt{\left(a^2+\frac{4}{a^2}\right)^2-8\left(a^2+\frac{4}{a^2}+4\right)+48}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+\frac{4}{a^2}\right)^2-8\left(a^2+\frac{4}{a^2}\right)+16}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+\frac{4}{a^2}-4\right)^2}\)

\(=\left|a^2+\frac{4}{a^2}-4\right|\)

Do \(a^2+\frac{4}{a^2}\ge2\sqrt{\frac{4a^2}{a^2}}=4\Rightarrow a^2+\frac{4}{a^2}-4\ge0\) (1)

\(\Rightarrow A=a^2+\frac{4}{a^2}-4\)

Theo (1) thì \(A_{min}=0\) khi \(a^4=4\Rightarrow a=\pm\sqrt{2}\)