K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 5 2015

Ta có x+y +z =0 =>x^2 =(y+z)^2 ;y^2=(x+z)^2;z^2=(y+x)^2

=>ax^2+by^2+cz^2=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(y+x)^2

=>(b+c)x^2+(a+c)y^2+(a+b)z^2+2(ayz+bxz+cyz)             (1)

Tu a+b+c=0=>-a=b+c;-b=a+c;-c=a+b                    (2)

Tu a/x+b/y+c/x =0=>ayz+bxz+cxy/xyz=0=>ayz+bxz+cxy = 0                   (3)

Thay (2) va (3 ) va (1) ta dc :ax^2+by^2+cz^2=-(ax^2+by^2+cz^2)=>ax^2+by^2+cz^2=0

(Hai số đối nhau mà bằng nhau chỉ có số 0)

30 tháng 5 2015

hình như bạn làm sai bạn ạ

 

1 tháng 7 2017

Ta có : \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

Suy ra :  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{z^2}{c^2}-\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

Vì : \(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right);y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right);z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\forall x\)

Nên : \(x^2\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0;y^2\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0;z^2\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=0\)

=> x = 0 ; y = 0 ; z = 0

Vậy x + y + z = 0 (đpcm)

7 tháng 4 2019

a ) Đặt A = \(\frac{-a+b+c}{2a}+\frac{a-b+c}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}-1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-3\right)\)

Do a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có :

\(A\ge\frac{1}{2}\left[2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}-3\right]=\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

b ) \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{3}{2}\)

( áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Từ \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\)

Từ \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(x+z\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

Thay vào \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(b+c\right)}{-\left(y+z\right)}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Rightarrow2byz+2cyz+bz^2+cy^2=0\)

\(\Rightarrow-\left(b+c\right).-\left(y+z\right)^2+by^2+cz^2=0\)

\(\Rightarrow\text{ax}^2+by^2+cz^2=0\)(dpcm)

Suy ngược nha k chắc

23 tháng 5 2019

từ x + y + z = 0 suy ra x2 = ( y + z )2 , y2 = ( x + z )2 , z2 = ( x + y )2 

do đó :

ax2 + by2 + cz2 = a ( y + z )2 + b ( x + z )2 + c ( x + y )2

= a ( y2 + 2yz + z2 ) + b ( x2 + 2xz + z2 ) + c ( x2 + 2xy + y2 )

= x2 ( b + c ) + y2 ( a + c ) + z2 ( a + b ) + 2 ( ayz + bxz + cxy )                   ( 1 )

thay b + c = -a ; a + c = -b ; a + b = -c do a + b +c = 0 và thay ayz + bxz + cxy = 0 do \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)vào ( 1 )

Ta được : ax2 + by2 + cz2 = -ax2 - by2 - cz2 

nên 2 ( ax2 + by2 + cz2 ) = 0 \(\Rightarrow\)ax2 + by2 + cz2 = 0

8 tháng 11 2018

chịu khó lắm

Ok

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

8 tháng 11 2018

mik đăng dc 5 phút thì 5 phút sau mik lm dk rui 

8 tháng 11 2018

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow\frac{xbc+yac+zab}{abc}=1\)

\(\Rightarrow xbc+yac+zab=abc\)

\(\Rightarrow\left(xbc\right)^2+\left(yac\right)^2+\left(zab\right)^2+2.xbc.yac+2.yac.zab+2.xbc.zab=\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2b^2c^2+y^2a^2c^2+z^2a^2b^2+2abc\left(cxy+ayz+bxz\right)=\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2b^2c^2+y^2a^2c^2+z^2a^2b^2=a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2b^2c^2+y^2a^2c^2+z^2a^2b^2}{a^2b^2c^2}=1\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

24 tháng 12 2018

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)\)

\(=1-2.\frac{cxy+bxz+ayz}{abc}=1-2.0=1\)

4 tháng 6 2015

đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y => a+b+c = 4x+4y+4z 
=> a - (a+b+c)/4 = x => x = (3a-b-c)/4 ; tương tự y = (3b-c-a)/4 ; z = (3c-a-b)/4 
thay vào vế trái ta có 
P = (3a-b-c)/4a + (3b-c-a)/4b + (3c-a-b)/4c = 
= 9/4 - (b/4a + c/4a + c/4b + a/4b + a/4c + b/4c) 
= 9/4 - (1/4)(b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c) 

Côsi cho từng cặp ta có: b/a+a/b ≥ 2 ; c/a+a/c ≥ 2 ; c/b+b/c ≥ 2 
=> b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c ≥ 6 
=> -(1/4)(b/a+a/b +c/a+a/c + c/b+b/c) ≤ -6/4 thay vào P ta có: 
P ≤ 9/4 - 6/4 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c hay x = y = z 
cách này tuy biến đổi dài nhưng dễ hiểu) 
------------ 
Cách khác: 
P = x/(2x+y+z) -1 + y/(2y+z+x) -1 + z/(2z+x+y) - 1 + 3 
= -(x+y+z)/(2x+y+z) -(x+y+z)/(2y+z+x) -(x+y+z)/(2z+x+y) + 3 
= -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] + 3 
- - - 
Côsi cho 3 số: 
2x+y+z + 2y+z+x + 2z+x+y ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) 
=> 4(x+y+z) ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (1*) 
Côsi cho 3 số: 
1/(2x+y+z)+1/(2y+z+x)+1/(2z+x+y) ≥ 3³√1/(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (2*) 

Lấy (1*) *(2*) ta có: 
4(x+y+z)[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≥ 9 

=> -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≤ -9/4 
thay vào P ta có: 
P ≤ -9/4 + 3 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi x = y = z 

12 tháng 7 2018

Bạn ơi vì sao lại nhân với 9/4 mình tưởng chỉ nhân với 3/4 thôi chứ nhỉ

5 tháng 7 2016

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1^2\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{cxy+ayz+bxz}{abc}\right)=1\)

Mà \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{0}{abc}=1\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.0=1\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(dpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt 

1 cái T I C K nha cảm ơn

13 tháng 8 2017

Câu hỏi của Momozono Nanami - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

1 tháng 9 2017

ta có x+y+z=0 =>x^2=(y+z)^2 
y^2=(x+z)^2 
z^2=(x+y)^2 
do đó ax^2+by^2+cz^2 
=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2 
=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2) 
+c(x^2+2xy+y^2) 
=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b) 
+2(ayz+bxz+cxy) (1) 
thay b+c=-a ,a+c=-b , a+b=-c do a+b+c=0 
và ayz+bxz+cxy=0 do a/x+b/y+c/z=0 vào (1) ta được 
ax^2+by^2+cz^2 = -(ax^2+by^2+cz^2) 
=> ax^2+by^2+cz^2=0

1.a, cho a,b,c và x,y,z là các số khác 0, thỏa mãn đk a+b+c=0, x+y+z=0,\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\). chứng minh rằng: \(a^2x+b^2y+c^2z=0\) b, cho a,b,c là các hằng số và a,b,c≠-1. chứng minh rằng nếu x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by, x+y+z≠0 thì\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\) 2. giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) là các số khác 0 thỏa mãn các đk: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{c_1}{c_2}=0\) và...
Đọc tiếp

1.a, cho a,b,c và x,y,z là các số khác 0, thỏa mãn đk a+b+c=0, x+y+z=0,\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\). chứng minh rằng:

\(a^2x+b^2y+c^2z=0\)

b, cho a,b,c là các hằng số và a,b,c≠-1. chứng minh rằng nếu x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by, x+y+z≠0 thì\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

2. giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) là các số khác 0 thỏa mãn các đk: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{c_1}{c_2}=0\)\(\frac{a_2}{a_1}+\frac{b_2}{b_1}+\frac{c_2}{c_1}=1\)

cmr \(\frac{a\frac{2}{2}}{a\frac{2}{1}}+\frac{b\frac{2}{2}}{b\frac{2}{1}}+\frac{c\frac{2}{2}}{c\frac{2}{1}}=1\)

3. a, biết x,y,z khác 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\). tính gt bt

M=\(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)

b, biết x,y,z khác 0 và x+y+z=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\). cmr

y(\(x^2-yz\))\(\left(1-xz\right)=x\left(1-yz\right)\left(y^2-xz\right)\)

4. cho x,y,z khác 0 và \(\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2xz}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=1\)

chứng minh rằng trong 3 phân thức đã cho có 1 phân thức bằng -1 và hai phân thức còn lại đều bằng 1

5
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020

Bài 1:

a) Từ đkđb:

$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$

$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$

$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.

Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$

Do đó:

$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$

$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$

$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$

$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)

b)

\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020

Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$

Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

CMR: $x^2+y^2+z^2=1$

-----------------------------------

Thật vậy:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)

Vậy........

14 tháng 11 2018

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{x^2}{a^2}\right)+\left(\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)+\left(\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)=0\)

Ta có : 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}< \frac{1}{a^2};\frac{1}{b^2};\frac{1}{c^2}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}< 0;\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}< 0;\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}< 0\)

\(\Rightarrow\)\(x^2=y^2=z^2=0\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=0\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~