Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=4
Chúng minh rằng \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\)
ta có ab( a\(^2\)+b\(^2\))\(\le\)2( tự CM)
=> ( a\(^2\)+ b\(^2\))\(\le\)2/ab
=> ( a\(^2\)+ b\(^2\))/2\(\le\)1/ab
làm tương tự ta có ( c\(^2\)+d\(^2\))/2\(\le\)1/cd
cộng vế tương ứng vế. Hết.
mình dùng tv ₫ể viết, có một Số chỗ hơi "khắm". Xin thứ lỗi.
Bạn Huy Le ơi, cho mik hỏi tại sao ab(a^2+b^2)<=2 vậy
Bạn bảotự chứng minh được à, tại saolại như thế vậy ??!!
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
Ta có \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2}\)
\(\frac{d}{1+a^2}\ge d-\frac{ad}{2}\)
Lại có \(ab+bc+cd+da\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\)
Do đó \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac{ab+bc+cd+da}{2}\)
\(\ge4-\frac{4}{2}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=d=1\)
Xét: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\)
\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}+d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\\b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2bc\\c^2+d^2\ge2\sqrt{c^2d^2}=2cd\\d^2+a^2\ge2\sqrt{d^2a^2}=2da\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\\\frac{bc^2}{b^2+c^2}\le\frac{bc^2}{2bc}=\frac{c}{2}\\\frac{cd^2}{c^2+d^2}\le\frac{cd^2}{2cd}=\frac{d}{2}\\\frac{da^2}{d^2+a^2}\le\frac{da^2}{2da}=\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\\b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\\c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}\ge c-\frac{d}{2}\\d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\ge d-\frac{a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}+d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\ge a+b+c+d-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}-\frac{d}{2}\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{cd^2}{c^2+d^2}+d-\frac{da^2}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) ( đpcm )
Cách của bạn Minh dài quá mình xin làm cách ngắn hơn:
Đầu tiên ta chứng minh bổ đề:
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}\ge\frac{2x-y}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^3-\left(x^2+y^2\right)\left(2x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(y-x\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đó ta có: \(\left\{\begin{matrix}\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge\frac{2a-b}{2}\\\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge\frac{2b-c}{2}\\\frac{c^3}{c^2+d^2}\ge\frac{2c-d}{2}\\\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{2d-a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng 4 cái trên vế theo vế ta được
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{2a-b}{2}+\frac{2b-c}{2}+\frac{2c-d}{2}+\frac{2d-a}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)