Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ba+bc\)
\(\Leftrightarrow ac< bc\)
\(\Leftrightarrow a< b\)(đúng)
a)Áp dụng
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)
Lại có:\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+a}+\dfrac{c}{c+a+b}=1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)=> đpcm
Vì \(\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\Rightarrow ac< bc\Rightarrow ac+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}< \dfrac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)a) ta có
\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\)
CM:$(b+c)(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})< \frac{(a+d)^{2}}{ad}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y
Ta có:
\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)
Vậy ta suy ra đpcm
b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b
Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
.Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy ta có đpcm
6) Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)
\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)
Suy ra đpcm
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
a: ad=bc
=>a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
b: \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{bk+dk}{b+d}=k\)
a/b=bk/b=k
=>(a+c)/(b+d)=a/b
c: ad=bc
nên a/c=b/d
d: \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{bk+b}{b}=k+1\)
\(\dfrac{c+d}{d}=\dfrac{dk+d}{d}=k+1\)
=>\(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}\)
Lớp 8:Thì cái này hiển đúng: \(\dfrac{a}{a+k}>\dfrac{a}{a+p}\forall a,p>k>0\)
\(A>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Vậy: \(A>1\)
Tương tự:
\(A< \dfrac{a+d}{a+b+c+d}+\dfrac{b+a}{a+b+c+d}+\dfrac{c+b}{a+b+c+d}+\dfrac{d+c}{a+b+c+d}=\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
Vậy: A<2
Kết luận: \(1< A< 2\)
p/s: bài giải này chỉ đúng với lớp 8; nếu lớp 6 bài giải này chưa đúng.