Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(bdt\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+d}+1\right)+\left(\frac{c-d}{d+a}+1\right)+\left(\frac{d-a}{a+b}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(*)
Theo Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\ge\frac{4}{a+b+c+d};\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\)
Khi đó:\(\left(\cdot\right)\ge\left(a+c\right).\frac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}=4\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Ta có :
\(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\) (1)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)( Cộng mỗi phân số vs 1 )
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\) (2)
Với a ,b ,c ,d là các số dương , áp dụng BĐT Svacsơ , ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\\\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\end{cases}}\)
Suy ra : \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{4\left(a+c\right)+4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(1\right)\)( Điều cần CM )
người đăng bài mới học lớp 8 thì trong chương trình lớp 8 chưa đc học Svac-xơ đâu ạ .Nếu dùng cần cm ạ
Đặt vế trái là P, áp dụng AM-GM cho từng cặp:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a\) ; \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\) ; \(\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge c\) ; \(\frac{d^2}{a+d}+\frac{a+d}{4}\ge d\)
Cộng vế với vế:
\(P+\frac{a+b+c+d}{2}\ge a+b+c+d\Rightarrow P\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Ta có : (a+b)/(a+b+c)<(a+b)/(a+b+c+d) ; (b+c)/(b+c+d)<(b+c)/(a+b+c+d) ; (c+d)/(c+d+a)>(c+d)(a+b+c+d) ; (a+d)/(a+b+d)>(a+d)(a+b+c+d)
Cộng 4 bất đẳng thức trên rồi rút gọn vế phải sẽ ra kết quả như đề bài
Trên trường tui không nghĩ ra về nhà mới phát hiên ra được
Cho mk hỏi bạn TMDuc va TNVuong thi cùng trường à. Sao lại có bài chung thế.
Để \(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+d}+1+\frac{c-d}{d+a}+1+\frac{d-a}{a+b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(Cần phải chứng minh)
Ta có : \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\ge\left(a+c\right).\frac{4}{a+b+c+d}\left(1\right)\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
\(\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\left(b+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}\left(2\right)\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=4\)(Điều phải chứng minh)
Thank bạn Fire Sky very much ☺☺🙂☺☺!!