Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Có: \(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (Bunyakovsky)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
abc = 1 => a^2.b^2.c^2 = 1
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{a^2b^2c^2}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}+\frac{\left(ac\right)^2}{bc+ba}+\frac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{\left(ab+ac+bc\right)}{2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.ac.bc}}{2}\)(Cauchy) \(=\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\frac{bc}{ab+ac}=\frac{ac}{bc+ba}+\frac{ab}{ca+cb}\Leftrightarrow\end{cases}a=b=c}\)
Mà abc=1 <=> a^3 = 1 <=> a=1 => b=c=a=1
https://diendantoanhoc.net/topic/80159-ch%E1%BB%A9ng-minh-frac1a2b3cfrac12a3bcfrac13bb2c-leqslant-frac316/
bạn tham khảo ở đây nhé
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}=3\) (abc=1) (tự c/m)
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\)
=>ab+bc=-ca => (ab+bc)3=-c3a3
=>a3b3+b3c3+3a2b2.bc+3ab.b2c2=-c3a3
=>a3b3+b3c3+3ab2c(ab+bc)=-c3a3
=>a3b3+b3c3+3ab2c.(-ca)=-c3a3
=>a3b3+b3c3-3a2b2c2=-c3a3
=>a3b3+b3c3+c3a3=3a2b2c2 = 3 (do abc=1)
Vậy F=3.3=9
Cho a,b,c>0
Cmr
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
BĐT đầu đúng => \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)đúng. Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Áp dụng vào bài toán: \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng 3 cái trên lại: \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{c+a+b}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}.\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c.
một cửa hàng có 1 bao đường nặng 42kg. Ngày thứ nhất bán 2/7 bao đường. Ngày thứ hai bán 3/5 số đường còn lại. Hỏi sau hai ngày bán cửa hàng còn lai bao nhiêu kg đường
giải hộ mk nha
Ừ thì sai đề vô căn cứ đây!
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ với \(a,b>0\), và với chú ý rằng nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức khi \(a>b\) và \(ab>0\)
Ta có:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\) \(\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c\)
bạn xem lại dấu BĐT ?
bạn thử thế a=1 c=2 b=3 vào là bik ngay đề sai
Lời giải:
$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$
$\Rightarrow b^2+c^2-a^2=b^2+c^2-(b+c)^2=-2bc$
$\Rightarrow \frac{1}{b^2+c^2-a^2}=\frac{1}{-2bc}=\frac{-1}{2bc}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế:
\(\text{VT}=\frac{-1}{2bc}+\frac{-1}{2ac}+\frac{-1}{2ab}=\frac{-(a+b+c)}{2abc}=\frac{-0}{2abc}=0\) (đpcm)
1/ \(\Leftrightarrow a^2b-a^3bc-b^2c+ab^2c^2=ab^2-ab^3c-a^2c+a^2bc^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)=abc\left(a^2-bc-b^2+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+ac+bc\right)=abc\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=2abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Rightarrow S=2^2=4\)
Câu 2:
\(P=\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Hoặc có thể dùng AM-GM:
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{1}{4}a\left(b+c\right)\ge a^2\) ; \(\frac{b^3}{c+a}+\frac{1}{4}b\left(c+a\right)\ge b^2\) ; \(\frac{c^3}{a+b}+\frac{1}{4}c\left(a+b\right)\ge c^2\)
Cộng vế với vế:
\(P+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow P\ge a^2+b^2+c^2-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2\)
<=> \(ab+bc+ac=0\Leftrightarrow\frac{ab+ac+bc}{abc}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)
<=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\frac{1}{c^3}\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+3.\frac{1}{a^2}.\frac{1}{b}+3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b^2}=-\frac{1}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=0\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{-1}{c}\right)=0\Leftrightarrow\)dpcm