Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Ta có:
\(x^4+y^4\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)xy\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P, áp dụng bồ đề vừa chứng minh ta có:
\(P\le\dfrac{a.abc}{bc\left(b^2+c^2\right)+a.abc}+\dfrac{b.abc}{ca\left(c^2+a^2\right)+b.abc}+\dfrac{c.abc}{ab\left(a^2+b^2\right)+c.abc}\)
\(P\le\dfrac{a^2.bc}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2.ac}{ca\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2.ab}{ab\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
2.
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Lời giải:
Đặt $\frac{x}{a}=m; \frac{y}{b}=n; \frac{z}{c}=p$ với $m,n,p>0$.
BĐT cần chứng minh tương đương với:
(m^2a+n^2b+p^2c)(a+b+c)\geq (am+bn+cp)^2$
$\Leftrightarrow m^2(ab+ac)+n^2(ba+bc)+p^2(ca+cb)\geq 2abmn+2amcp+2bncp$
$\Leftrightarrow ab(m^2-2mn+n^2)+bc(n^2-2np+p^2)+ca(m^2-2mp+p^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(m-n)^2+bc(n-p)^2+ca(m-p)^2\geq 0$
(luôn đúng với $a,b,c>0$)
Ta có đpcm.
2: Ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=\dfrac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}-a-b-c=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c-a-b-c=0\)
1: Sửa đề: Cho \(x,y,z\ne0\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{2x+y+2z}\).
CM:....
Đặt 2x = x', 2z = z'.
Ta có: \(\dfrac{2}{x'}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z'}=\dfrac{2}{x'+y+z'}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=\dfrac{1}{x'+y+z'}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}-\dfrac{1}{x'+y+z'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z'}{x'\left(x'+y+z'\right)}+\dfrac{y+z'}{yz'}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y+z'\right)\left(yz'+x'^2+x'y+x'z'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x'+y\right)\left(y+z'\right)\left(z'+x'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(2z+2x\right)=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(z+x\right)=0\left(đpcm\right)\)
Ta có :
+) \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\)
\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
+) \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{xz}{zc}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{ayz+bxz+cxy}{abc}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\left(đpcm\right)\)
Lời giải:
\(\frac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow (ax+by+cz)^2=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(\Leftrightarrow 2axby+2bycz+2axcz=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)
\(\Leftrightarrow (a^2y^2+b^2x^2-2axby)+(a^2z^2+c^2x^2-2axcz)+(b^2z^2+c^2y^2-2bycz)=0\)
\(\Leftrightarrow (ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0\)
Vì bản thân mỗi số hạng đều không âm nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((ay-bx)^2=(az-cx)^2=(bz-cy)^2=0\Rightarrow ay=bx; az=cx; bz=cy\)
\(\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Ta có đpcm.
ta có x+y+z=0 =>x^2=(y+z)^2
y^2=(x+z)^2
z^2=(x+y)^2
do đó ax^2+by^2+cz^2
=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2
=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2)
+c(x^2+2xy+y^2)
=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b)
+2(ayz+bxz+cxy) (1)
thay b+c=-a ,a+c=-b , a+b=-c do a+b+c=0
và ayz+bxz+cxy=0 do a/x+b/y+c/z=0 vào (1) ta được
ax^2+by^2+cz^2 = -(ax^2+by^2+cz^2)
=> ax^2+by^2+cz^2=0
Ta có:
\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{a+b}{x+y}=0\Leftrightarrow ay\left(x+y\right)+bx\left(x+y\right)+xy\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow axy+ay^2+bx^2+bxy+axy+bxy=0\)
\(\Leftrightarrow ay^2+2axy+2bxy+bx^2=0\)
Vậy:
\(ax^2+by^2+cz^2=ax^2+by^2-\left(a+b\right)\left(x+y\right)^2\)
\(=ax^2+by^2-\left(ax^2+2axy+ay^2+bx^2+2bxy+by^2\right)\)
\(=-\left(ay^2+2axy+2bxy+by^2\right)=-0=0\)