Tìm giá trị nhỏ nhất của S=
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời. b) \(\dfrac{1}{3a+2b+c}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) Tương tự cho 2 cái kia rồi cộng lại \(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}.16=\dfrac{8}{3}\) Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) ... \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{3}{16}\) HÌnh như là \(a+b+c\le\dfrac{3}{2}\) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\dfrac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\sqrt[3]{abc}\) Áp dụng BĐT Holder ta có: \(A=\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\) \(\ge\left(\sqrt[3]{3^3}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\)\(\ge\left(3+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\right)^3=343\) Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có : \(a+\dfrac{1}{4a}\text{ ≥}2\sqrt{a.\dfrac{1}{4a}}=2.\dfrac{1}{2}=1\) \(b+\dfrac{1}{4b}\text{ ≥}2\sqrt{b.\dfrac{1}{4b}}=2.\dfrac{1}{2}=1\) \(c+\dfrac{1}{4c}\text{ ≥}2\sqrt{c.\dfrac{1}{4c}}=2.\dfrac{1}{2}=1\) ⇒ \(a+b+c+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥}3\) ⇔ \(a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{ ≥ }3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{a+b+c}\text{ ≥}3+\dfrac{3}{4}.\dfrac{9}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{2}\) ⇒ \(A_{MIN}=\dfrac{15}{2}."="\text{⇔}a=b=c=\dfrac{1}{2}\) Bài 2: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\) Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\) \(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) Thiết lập các BĐT tương tự: \(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: \(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\) Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé ! 1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có: \(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\) TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\) \(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\) Cộng vế với vế ta được: \(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\) làm rõ \(\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)=\sum_{cyc}\frac{a-b}{2(a+b)}\) \(=\sum_{cyc}\frac{(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\sum_{cyc}\frac{c^2a-c^2b}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\) \(=\sum_{cyc}\frac{a^2b-a^2c}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\geq0\) (đúng) ok thỏa thuận rồi tui làm nửa sau thui nhé :D Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\) thì ta có: \(VT=\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+z}}\) Lại có: \(\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}=\sqrt{\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\cdot\sqrt{x+z}}\) Tương tự cộng theo vế rồi áp dụng BĐT C-S ta có: \(VT^2\le2\left(x+y+z\right)\left[\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]\) \(\Leftrightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\) Vì \(VP^2=\dfrac{9}{2}\) nên cần cm \(VT\le \frac{9}{2}\) \(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\) Can you continue Em bất tài xin phép để link :( Câu hỏi của Anh Khương Vũ Phương - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
K
Khách
NT
Nguyễn Thành Long
21 tháng 3 2022
Đúng(2)
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
2 tháng 7 2017
26 tháng 10 2017
26 tháng 7 2018
31 tháng 3 2017
31 tháng 3 2017
21 tháng 6 2017
21 tháng 6 2017
6 tháng 6 2018
