HL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MT
1
DQ
1
KY
15 tháng 9 2019
Ta có: \(0\le a\le b\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\ge0\\b-1\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\Leftrightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\)(Vì \(c\ge0\))
Mà \(\frac{c}{a+b}\le\frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\)(Vì \(c\ge0\))
\(\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự: \(\frac{b}{bc+1}\le\frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(đpcm\right)\)
LS
0
Y
1
24 tháng 12 2019
Bạn tham khảo ở đây nhé
https://olm.vn/hoi-dap/detail/49527613309.html
24 tháng 12 2019
ở đây nữa:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/32718.html
NC
25 tháng 8 2020
Bài làm:
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=0\) (1)
Mà \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\), cách CM như sau:
\(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\) ; \(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ca}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta sẽ được: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
Thay vào (1) ta được:
\(0=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
CN
13
10 tháng 6 2016
Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)
Chứng minh rằng \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
Giải :
Từ giả thiết ta có : \(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\Leftrightarrow1-\left(b+c\right)+bc\ge0\Rightarrow bc+1\ge b+c\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{b+c}\le\frac{a}{a+b}\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có : \(\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\le\frac{b}{a+b}\left(2\right)\) ; \(\frac{c}{ab+1}\le c\le1\left(3\right)\)
Cộng (1) , (2) , (3) theo vế ta được : \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a+b}{a+b}+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
20 tháng 6 2016
ta có : a<= 1 => a-1<=0
b<=1 => b-1<=0
=> (b-1)(a-1) >= 0 => ab-a-b+1 >=0 => ab+1>=a+b => 2ab+1>= a+b ( vì ab>=0)
=> 2ab+1+1>= a+b+c ( vì 1>= c)
2ab+2>=a+b+c => 1/2ab+2<=1/a+b+c c/ab+1<= 2c/a+b+c
chứng minh tương tự ta có b/ac+1 <= 2b/a+b+c ; a/bc+1<= 2a/a+b+c
=> a/bc+1+b/ac+1 + c/ab+c <= 2a+2b+2c / a+b+c = 2 ( đpcm )
NT
2
KN
2 tháng 2 2020
\(0\le a\le b\le c\le1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Rightarrow ab+1\ge a+b\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Tương tự ta có: \(\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\); \(\frac{b}{ca+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\)
Cộng ba vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
NH
2 tháng 2 2020
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\)nên:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)\(\Rightarrow ab+1\ge a+b\)\(\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\) (1)
\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\text{}\ge0\)\(\Rightarrow bc-b-c+1\text{}\ge0\)\(\Rightarrow bc+1\text{}\ge b+c\)\(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{b+c}\) (2)
\(\left(a-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)\(\Rightarrow ac-a-c+1\text{}\ge0\)\(\Rightarrow ac+1\ge a+c\)\(\Rightarrow\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\) (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\) (4)
Mà \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\) (đpcm)
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)=-\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
Mà \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}>0\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}< 0\left(đpcm\right)\)
(Dấu"=" không xảy ra bạn nhé)
Thanks bạn