K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 8 2019
Lời giải:
Đặt $ab=x,bc=y, ca=z$. Điều kiện đề bài tương đương với: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y+z=0(1)\\ x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0(2)\end{matrix}\right.\)
Với (1):\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)
\(A=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc}{abc}=\frac{0-abc}{abc}=-1\)
Với (2) \(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)
\(\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\) (do $a,b,c\neq 0$)
\(\Rightarrow A=(1+1)(1+1)(1+1)=8\)
Vậy...........
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2019
Lời giải:
Đặt $ab=x,bc=y, ca=z$. Điều kiện đề bài tương đương với: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y+z=0(1)\\ x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0(2)\end{matrix}\right.\)
Với (1):\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)
\(A=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc}{abc}=\frac{0-abc}{abc}=-1\)
Với (2) \(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)
\(\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\) (do $a,b,c\neq 0$)
\(\Rightarrow A=(1+1)(1+1)(1+1)=8\)
Vậy...........
K
0
LN
2
29 tháng 6 2015
Điều đó là đương nhiên mà. Giả sử x2 + y2 + z2 = 5 thì x2 + y2 + z2 \(\le\) 5
ML
29 tháng 6 2015
Áp dụng bất đẳng thức Bu.nhia.cop.xki cho 2 bộ 3 số:
\(\left(a+2b+3c\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}.\sqrt{2}b+\sqrt{3}.\sqrt{3}c\right)^2\)
\(\le\left(1+2+3\right)\left(a^2+2b^2+3c^2\right)=6.6=36\)
\(\Rightarrow\left|a+2b+3c\right|\le6\)
\(\Rightarrow-6\le a+2b+3c\le6\)
23 tháng 3 2018
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
24 tháng 3 2018
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
NV
1
QD
8 tháng 2 2017
=> (8a+b-6c+d)-(3a+2b-c-d)-(4a+2b-c+2d)-(4a-2b-3c+d)=4-3-2-1
<=>8a+b-6c+d-3a-2b+c+d-2a-2b+c-2d-4a+2b+3c-d=-2
<=>(8a-3a-2a-4a)+(b-2b-2b+2b)-(6c-c-c-3c)+(d+d-2d-d)=-2
-a-b-c-d=-2
-(a+b+c+d)=-2
=>a+b+c+d=2
Vậy a+b+c+d=2
19 tháng 2 2022
Áp dụng BĐT
\(\dfrac{9}{x+y+z}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{9abc}{a+3a+2c}\\ =\dfrac{9}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{4}{2}\)
Tương tự với 2 BĐT còn lại rồi cộng vế theo vế
=> 9 vế trái
\(\le\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\\ +\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{2}\\ =\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}\\ \Rightarrow......._{\left(đpcm\right)}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 7 2017
Lời giải:
Biến đổi $A$ :
\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}=\frac{1}{4}(a+2b+3c)+\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left (\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left (\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{4}(a+2b+3c)\geq \frac{20}{4}=5\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\left\{\begin{matrix} \frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\geq 3\\ \frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\geq 3\\ \frac{c}{4}+\frac{4}{c}\geq 2\end{matrix}\right.\)
Do đó \(A\geq 5+3+3+2=13\) hay \(A_{\min}=13\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=4\end{matrix}\right.\)
Mấu chốt của bài toán là cách tìm điểm rơi.
VM
20 tháng 1 2020
Bài 1 bạn tham khảo tại đây nhé:
Tim x,y,z thoa man : x^2 +5y^2 -4xy +10x-22y +Ix+y+zI +26 = 0 ...
Chúc bạn học tốt!