DL
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
LH
4
10 tháng 4 2020
Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Đánh giá tương tự , ta cũng có :
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2},\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ab}{2}\)
Từ đó suy ra :
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+c}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Mặt khác ,ta biết rằng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3.\)Từ đây ,kết hợp với đánh giá ở trên ,ta có kết quả cần chứng minh.
13 tháng 4 2020
\(Ta\)\(có\) \(\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab\)ta có
\(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Chứng minh tương tụ với \(\frac{b}{1+c^2};\frac{c}{1+a^2}\)ta được
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác ta có :
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(Hay\)\(3^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)\(\left(2\right)\)
\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\)\(\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\(\left(3\right)\)
\(Từ\)\(\left(1\right)\)\(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\left(đpcm\right)\)
11 tháng 9 2017
a. \(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3\)
<=> \(\left(a^3+b^3\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> (\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
vì a+b+c =0 => đpcm
11 tháng 9 2017
b. 2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)
<=> \(2\left(ab+a+b+1\right)=\)\(a^2+ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(2ab+2a+2b+2=a^2ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(a^2+b^2=2\)=> đpcm
HK
0
BF
1
2 tháng 9 2018
ta có: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2
=> 2.(ab+ac+bc) = 0
ab + ac + bc = 0
=> 1/a + 1/b + 1/c = 0
Lại có: \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-\frac{3}{abc}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right).\)
\(=0.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)=0\)
=> 1/a3 + 1/b3 + 1/c3 -3/abc = 0
=> 1/a3 + 1/b3 + 1/c3 = 3/abc
NN
0
\(VT=\dfrac{a}{c+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a}{c+b}+1+\dfrac{b}{a+c}+1+\dfrac{c}{a+b}-3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\)
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho 3 số dương ta có:
\(VT\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}-3=\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\left(1\right)\)
\(VP=\dfrac{2.\left(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c^2+1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right)}{2}=\dfrac{\dfrac{2a}{a^2+1}+1+\dfrac{2b}{b^2+1}+1+\dfrac{c}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+2a+1}{a^2+1}+\dfrac{b^2+2b+1}{b^2+1}+\dfrac{c^2+2c+1}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{\left(a+1\right)^2}{a^2+1}+\dfrac{\left(b+1\right)^2}{b^2+1}+\dfrac{\left(c+1\right)^2}{c^2+1}-3}{2}\)-Áp dụng BĐT Caushy ta có:
\(VP\le\dfrac{\dfrac{2\left(a^2+1\right)}{a^2+1}+\dfrac{2\left(b^2+1\right)}{b^2+1}+\dfrac{2\left(c^2+1\right)}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{2+2+2-3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) ta có:
\(VT\ge\dfrac{3}{2}\ge VP\Rightarrow\dfrac{a}{c+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\left(đpcm\right)\)
-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
-Bạn không hiểu chỗ nào thì nói cho mình nhé!