Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ bài toán này (mà bạn đã hỏi cách đây vài bữa):
cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\) - Hoc24
Ta có: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\)
Do đó: \(VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\)
Lại có: \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=3\)
Đặt \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=x\ge3\Rightarrow VT\ge x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{8x}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{9x}}+\dfrac{8}{9}.3=\dfrac{10}{3}\) (đpcm)
ta có : \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^3}{b}+bc+\dfrac{b^3}{c}+ca+\dfrac{c^3}{a}+ab-\left(ac+bc+ab\right)\)
\(=\dfrac{a^3}{b}+bc+\dfrac{b^3}{c}+ca+\dfrac{c^3}{a}+ab-\left(\dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ac}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2}\right)\)
\(\ge2.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.bc}+2\sqrt{\dfrac{b^3}{c}.ca}+2\sqrt{\dfrac{c^3}{a}.ab}-2\sqrt{\dfrac{ab.bc}{4}}-2\sqrt{\dfrac{ab.ac}{4}}-2\sqrt{\dfrac{bc.ac}{4}}\)
\(\ge2a\sqrt{ac}+2b\sqrt{ba}+2c\sqrt{cb}-b\sqrt{ac}-a\sqrt{bc}-c\sqrt{ab}=a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}\left(ĐPCM\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
BĐT cần chứng minh tương đương :
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(\sqrt{a^3c}+\sqrt{b^3a}+\sqrt{c^3b}\right)\)
Thật vậy, Áp dụng BĐT \(\left(X+Y+Z\right)^2\ge3\left(XY+YZ+ZX\right)\)
Với \(\left\{{}\begin{matrix}X=a+\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\\Y=b+\sqrt{ac}-\sqrt{ab}\\Z=c+\sqrt{ab}-\sqrt{bc}\end{matrix}\right.\) ta có ngay ĐPCM. ( mất chút time khai triển)
Dấu = xảy ra khi X=Y=Z hay a=b=c
Đặt thì và . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành .
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương ta có
hay .
Tương tự, . Cộng theo vế các bất đẳng thức nhận được ta có
Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
Ko lq nhưng ta chuẩn hóa \(a+b+c=3\). So:
\(M\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{2c\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{2a\left(a+c\right)}}\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2a}{2b+a+b}+\dfrac{2b}{2c+b+c}+\dfrac{2c}{2a+a+c}\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)=2\left(\dfrac{a^2}{a^2+3ab}+\dfrac{b^2}{b^2+3bc}+\dfrac{c^2}{c^2+3ca}\right)\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (đpcm)
\(\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}=\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{\sqrt{2}.a}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)
làm tương tự với \(\dfrac{b}{\sqrt{bc+c^2}};\dfrac{c}{\sqrt{ca+a^2}}\)
\(=>P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)
\(=2\sqrt{2}\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}\right]=\dfrac{2\sqrt{2}.3}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}}=\dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{3b}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}\ge\dfrac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\)
Cộng vế:
\(3\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\) đpcm