Question

[Andromeda Galaxy]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

a, CMR:\(ab\left(a+b-2c\right)+bc\left(b+c-2a\right)+ac\left(a+c-2b\right)\ge0\)

b, CMR: \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)

\(=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\geq 6\sqrt[6]{a^2b.ab^2.b^2c.bc^2.c^2a.ca^2}\)

\(\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq 6abc\)

\(\Leftrightarrow ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)\geq 0\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ca+cb-c^2}\)

\(\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+ac-a^2+ab+bc-b^2+ca+cb-c^2}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}\)

Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên

\(a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)>0\)

hay \(2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)>0\)

Mặt khác theo BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow 2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)\leq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}=\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}{ab+bc+ac}\geq \frac{3(ab+bc+ac)}{ab+bc+ac}=3\)

Vậy ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)