K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
20 tháng 5 2020

Ko phải số thực dương thì hơi mất thời gian

Ta có: \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge x+y\Rightarrow\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{\left|bc\right|}{a^2+1}+\frac{\left|ca\right|}{b^2+1}+\frac{\left|ab\right|}{c^2+1}\)

Đặt \(\left(\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x;y;z\ge0\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}=\frac{yz}{x^2+y^2+x^2+z^2}+\frac{zx}{x^2+y^2+y^2+z^2}+\frac{xy}{x^2+z^2+y^2+z^2}\)

\(VT\le\frac{yz}{2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{zx}{2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{xy}{2\sqrt{\left(x^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{x^2+z^2}+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2}\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)

10 tháng 12 2017

Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)

\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)

                  \(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)

NV
17 tháng 7 2020

Bài này chính bạn đã hỏi 1 lần luôn:

Câu hỏi của Trần Anh Thơ - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

13 tháng 7 2019

Mình chịu 

13 tháng 7 2019

\(1+a^2=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\)

Tương tự, ta có: \(1+b^2=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)\(;\)\(1+c^2=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}=\frac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\) ( do a, b, c dương ) 

\(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}=\frac{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

... 

2 tháng 12 2017

\(\sqrt[4]{b^3}\)

3 tháng 5 2020

Vì a+b+c=1 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=2+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)

Do đó

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{ab}\right)+\left(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{bc}\right)+\left(\frac{ca}{a^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\cdot\frac{a^2+b^2}{ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{c^2+b^2}\cdot\frac{c^2+b^2}{bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{a^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{ca}}+\frac{3}{4}\)

\(=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{15}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

28 tháng 8 2019

\(sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b\right)^2\left(a^3+b^3\right)}=sigma\frac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{9}{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

20 tháng 1 2019

Theo đề ra ta có :

 \(ab+bc+ca-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=-\left[\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{6}\right]\le0\)

và : \(ab+bc+ca\le3\)

Suy ra : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta được :

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Thiết lập 2 đẳng thức tương tự, cộng về theo về, ta có :

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)+\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\right]\)

và : \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}\)

Mà : \(a+b+c=3\)( theo đề bài ) , suy ra đpcm

20 tháng 1 2019

ở dòng thứ 3 qua dòng thứ 4 bạn sai nhé. đáng lẽ là \(\ge\)

đặt \(A=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\)

\(\Rightarrow A-3=P=\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}\)

áp dụng BĐT cô-si ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab;\frac{b^2+c^2}{2}\ge bc;\frac{c^2+a^2}{2}\ge ca\)

\(\Rightarrow1-\frac{a^2+b^2}{2}\le1-ab;1-\frac{b^2+c^2}{2}\le1-bc;1-\frac{c^2+a^2}{2}\le1-ca\)

\(\Rightarrow P\le\frac{2ab}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}+\frac{2bc}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}+\frac{2ca}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\right)\)

Áp dụng BĐT Schwarts ta có:

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\)

\(\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)

\(\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P+3\le\frac{3}{2}+3\)

\(\Rightarrow A\le\frac{9}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

6 tháng 6 2020

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: \(\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\ge\frac{-9}{2}\)

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được:  \(\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\ge\frac{9}{ab+bc+ca-3}\)

\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2-3}=\frac{9}{1-3}=\frac{-9}{2}\left(Q.E.D\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)