Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(P=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+c^2+\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\)(bđt cauchy-schwarz)
\(P\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{81}+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\left(AM-GM\right)\)
Sử dụng đánh giá quen thuộc:\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\cdot27}{81}=\frac{82}{3}\)
"="<=>a=b=c=3
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
\(P=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{\frac{2ac}{a+c}+c}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{3a+c}{2c}=1+\frac{3}{2}\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài này hay:)
c = min {a,b,c}. Đặt
\(a-c=x;b-c=y\Rightarrow x,y\ge0\) và x + y = a + b - 2c \(=3-3c\le3\)
\(\Rightarrow a-b=x-y;c=\frac{3-x-y}{3}\)
\(a=x+c=x+\frac{3-x-y}{3}=\frac{2x-y+3}{3}\)
\(b=y+c=\frac{2y-x+3}{3}\)
Như vậy: \(K=\sqrt{4\left(2x-y+3\right)+y^2}+\sqrt{4\left(2y-x+3\right)+x^2}+\sqrt{4\left(3-x-y\right)+\left(x-y\right)^2}\)
\(=\sqrt{y^2-4y+8x+12}+\sqrt{x^2-4x+8y+12}+\sqrt{4\left(3-x-y\right)+\left(x-y\right)^2}\)
Giờ em đang bận, tối em làm tiếp!
\(12a+\left(b-c\right)^2=4a\left(a+b+c\right)+b^2-2bc+c^2\)
\(=4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac+2bc-4bc\)
\(=\left(2a+b+c\right)^2-4bc\le\left(2a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{12a+\left(b-c\right)^2}\le2a+b+c\)
Tương tự: \(\sqrt{12b+\left(a-c\right)^2}\le a+2b+c\); \(\sqrt{12c+\left(a-b\right)^2}\le a+b+2c\)
Cộng vế với vế:
\(K\le4\left(a+b+c\right)=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị
Cho a,b,c là những số dương abc=1. Tìm GTLN của P\(=\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+b^2+1+2}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}\right)\)
tương tự với những cái còn lại, ta sẽ đc 1 bài quen thuộc