Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này dễ bạn à
áp dụng bđt Cô-si cho 3 số ta được
\(\sqrt[3]{\left(a+3b\right).1.1}\le\frac{a+3b+1+1}{3}\)
Tương tự bạn sẽ có VT\(\le\) \(\frac{a+3b+1+1+b+3c+1+1+c+3a+1+1}{3}\)\(=\frac{4\left(a+b+c\right)+6}{3}\)
Do \(a+b+c=\frac{3}{4}\)\(\Rightarrow VT\le\frac{4.\frac{3}{4}+6}{3}=3\)
dấu "=" khi a=b=c=\(\frac{1}{4}\)
Ta có \(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(1-2a+4a^2\right)}\le\frac{1+2a+1-2a+4a^2}{2}=1+2a^2\)(BĐT AM-GM)
Tương tự cho \(\sqrt{1+8b^2};\sqrt{1+8c^2}\)ta được \(P\ge\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1}{1+2b^2}+\frac{1}{1+2c^2}\)
Mặt khác \(\frac{1}{1+2a^2}=\frac{1}{1+2a^2}+\frac{1+2a^2}{9}-\frac{1+2a^2}{9}\ge2\sqrt{\frac{1}{1+2a^2}\cdot\frac{1+2a^2}{9}}-\frac{2}{9}a^2-\frac{1}{9}=\frac{5-2a^2}{9}\)
Khi đó: \(P\ge\frac{5-2a^2}{9}-\frac{5-2b^2}{9}-\frac{5-2c^2}{9}\) \(=\frac{15-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}=\frac{15-2\cdot3}{9}=1\)
Vậy Min P=1
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=3\\1+2a=1-2a+4a^2\\\frac{1}{1+2a^2}=\frac{1+2a^2}{9}\end{cases}}\)và vai trò a,b,c như nhau hay (a,b,c)=(1,1,1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Và
\(VT^2=\left(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\right)^2\)
\(\le\left(5a+4+5b+4+5c+4\right)\left(1+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+36\)
Mà \(3\le a+b+c\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+12\left(a+b+c\right)=27\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\le3\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Đặt \(x=\sqrt{bc};y=\sqrt{ca};z=\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xyz=4\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4=2\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y-z\right)+4=\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\)\(\le\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
Đặt \(t=x+y+z\Rightarrow\left(t-6\right)^3+27\left(t^2-4t+4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+6\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
Mình chưa hiểu ở dòng thứ 3 tại sao bạn lại đánh giá đc nó nhỏ hơn hoặc bằng \(\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
Đặt \(x=\sqrt{\frac{b}{a}};y=\sqrt{\frac{c}{b}};z=\sqrt{\frac{a}{c}}\) thì \(xyz=1\) và BĐT cần chứng minh là
\(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{z^2+1}}\le3\)
Giả sử \(x\le y\le z\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy\le1\\z\ge1\end{cases}}\) ta có:
\(\left(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}\right)^2\le2\left(\frac{2}{x^2+1}+\frac{2}{y^2+1}\right)\)
\(=4\left[1+\frac{1-x^2y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\right]\)
\(\le4\left[1+\frac{1-x^2y^2}{\left(xy+1\right)^2}\right]=\frac{8}{xy+1}=\frac{8z}{z+1}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}\le2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}\)
Nên còn phải chứng minh \(2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}+\frac{2}{z+1}\le3\)
\(\Leftrightarrow1+3z-2\sqrt{2z\left(z+1\right)}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{2z}-\sqrt{z+1}\right)^2\ge0\)
BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM
Ta có:
\(a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1\ge3\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\le a^3+b^3+c^3+6\le9\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le3\)
Quay lại bài toán ta có:
\(\left(\frac{ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b+3}}\right)^2\le\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}\right)\)
\(\le3.\left(\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}\right)\)
\(\le3.\left(\frac{ab}{c+a+c+b}+\frac{bc}{a+b+a+c}+\frac{ca}{b+a+b+c}\right)\)
\(\le\frac{3}{4}.\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)
\(=\frac{3}{4}.\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ab}{c+a}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
\(=\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\le\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b+3}}\le\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{2ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{2bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{2ca}{\sqrt{b+3}}\le3\)
PS: Được chưa 2 cô nương Hoàng Lê Bảo Ngọc, Witch Rose.
Số t khổ quá mà. Thấy có bài giải mừng húm tưởng khỏi cần giải nữa thì vô đọc bài của bác Thắng Nguyễn thấy mệt mệt. Bác lo mà úp mặt vô tường đi :(
Cái này xấu lắm đấy nhé :v, chủ thớt muốn thì post thôi @@
*)Note:\(Σ\) là tổng đối xứng viết tắt cho gọn
\(\text{∏}\) tích đối xứng viết tắt luôn :v \(\text{∏}a=abc;Σa=a+b+c\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b+3}}\le\frac{3}{2}\)
Theo Cauchy-Schwarz và đặt \(a+b+c=3u;ab+bc+ca=3v^2;abc=w^3\)
\(\left(Σ\frac{ab}{\sqrt{c+3}}\right)^2\leΣab\cdotΣ\frac{ab}{c+3}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3v^2Σab\left(a+3\right)\left(b+c\right)}{\text{∏}\left(a+3\right)}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow4v^2Σ\left(a^2b^2+3a^2b+3a^2c+9ab\right)\le3\left(abc+27+Σ\left(3ab+9a\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow4v^2\left(9v^4-6uw^3+27uv^2-9w^3+27v^2\right)\le3\left(w^3+9v^2+27+27u\right)\)
\(\Leftrightarrow w^3\left(1+12v^2+8uv^2\right)+27u+27+9v^2\ge12v^6+36uv^4+36v^4\)
A[ dụng BDT Schur có:\(w^3\ge4uv^2-3u^3\)
Nên cần cm \(\left(4uv^2-3u^3\right)\left(1+12v^2+8uv^2\right)+27u+27+9v^2\ge12v^6+36uv^4+36v^4\)
\(\Leftrightarrow32u^2v^4+12uv^4+4uv^2+9v^2+27u+27\ge12v^6+36v^4+3u^3+24u^2v^2+36u^3v^2\)
Đúng theo BĐT P-M và BĐT AM-GM
P.s: Đọc đến đây thì cho hỏi cái đề đâu ra thế, thật sự lm ko muốn dùng cách này đâu @@ hại não, hại mắt
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge6\)
Theo giả thiết, ta có a + b + c = 3 nên\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}=\sqrt{\frac{2\left(a+a+b+c\right)}{a+bc}}=\sqrt{2\left(\frac{a+b}{a+bc}+\frac{a+c}{a+bc}\right)}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}\)(Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\))
Hoàn toàn tương tự, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}\ge\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}\); \(\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+b}{b+ca}}\ge\frac{4\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}}\ge\frac{2\sqrt{2}\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc+b+ca}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}\)(*)
Tương tự ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}\)(**) ; \(\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+bc}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)(***)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (*), (**) và (***) suy ra \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)\(\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)
Do đó ta có: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\ge6\)hay \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(a+b+c+3\right)}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Đề bài sai, hãy thử với \(b=c=0,01\) ; \(a=2,98\)
Khi đó \(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3}>5>3\)