K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 7 2018

bài này hình như có trong đề olympic Toán Trung Quốc 2003 

Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(ay_1+by_2+cy_3+dy_4\right)^2\le\left(ab+cd\right)\left[\frac{\left(ay_1+by_2\right)^2}{ab}+\frac{\left(cy_3+dy_4\right)^2}{cd}\right]\)\(=\frac{\left(ay_1+by_2\right)^2}{ab}+\frac{\left(cy_3+dy_4\right)^2}{cd}\)

\(=\frac{a}{b}y_1^2+\frac{b}{a}y_2^2+\frac{c}{d}y_3^2+\frac{d}{c}y_4^2+2y_1y_2+2y_3y_4\)

\(\left(ax_4+bx_3+cx_2+dx_1\right)^2 \le\left(ab+cd\right)\left[\frac{\left(ax_4+bx_3\right)^2}{ab}+\frac{\left(cx_2+dx_1\right)^2}{cd}\right]\)\(=\frac{\left(ax_4+bx_3\right)^2}{ab}+\frac{\left(cx_2+dx_1\right)^2}{cd}\)

\(=\frac{a}{b}x_4^2+\frac{b}{a}x_3^2+\frac{c}{d}x_2^2+\frac{d}{c}x_1^2+2x_1x_2+2x_3x_4\)

Đặt:  \(P=\left(ay_1+by_2+cy_3+dy_4\right)^2+\left(ax_4+bx_3+cx_2+dx_1\right)^2-2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd}\right)\)

Từ các BĐT trên ta có:

\(P\le\frac{a}{b}y_1^2+\frac{b}{a}y_2^2+\frac{c}{d}y_3^2+\frac{d}{c}y_4^2+2y_1y_2+2y_3y_4+\frac{a}{b}x_4^2+\frac{b}{a}x_3^2+\frac{c}{d}x_2^2+\frac{d}{c}x_1^2+2x_1x_2+2x_3x_4-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right)\)

\(=-\left(\frac{a}{b}x_1^2+\frac{b}{a}x_2^2\right)-\left(\frac{c}{d}x_3^2+\frac{d}{c}x_4^2\right)-\left(\frac{a}{b}y_4^2+\frac{b}{a}y_3^2\right)-\left(\frac{c}{d}y_2^2+\frac{d}{c}y_1^2\right)+2x_1x_2+2x_3x_4+2y_1y_2+2y_3y_4\)

\(\le-2x_1x_2-2x_3x_4-2y_4y_3-2y_2y_1+2x_1x_2+2x_3x_4+2y_1y_2+2y_3y_4=0\)

=> đpcm

9 tháng 8 2018

chuẩn nè, hôm trc thầy mk chữa, mk thấy bài này cx có ở trg đó, tks bạn nhiều nhé <3

28 tháng 1 2019

Bạn vào câu hỏi tương tự ý , có 1 bạn tên giống hệt bạn từng trả lời rồi đấy !

28 tháng 1 2019

Bạn tham khảo nha ! Lick : https://olm.vn/hoi-dap/detail/185482794083.html

Câu hỏi của Kudo - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Chúc bạn học tốt !

11 tháng 6 2019

Một cửa hàng ngày thứ nhất bán 180 tạ gạo, ngày thứ hai bán 270 tạ gạo , ngày thứ ba bán kém hơn ngày thứ hai một nửa .Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu tạ gạo ?

11 tháng 6 2019

1) Xét hiệu :

\(\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)-3\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right).\)

\(=x_1\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_1y_1+x_2\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_2y_2+x_3\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_3y_3.\)

\(=x_1\left(y_2+y_3-2y_1\right)+x_2\left(y_1+y_3-2y_2\right)+x_3\left(y_1+y_2-2y_3\right)\)

\(=x_1\left[\left(y_2-y_1\right)-\left(y_1-y_3\right)\right]+x_2\left[\left(y_3-y_2\right)-\left(y_2-y_1\right)\right]+x_3\left[\left(y_1-y_3\right)-\left(y_3-y_2\right)\right]\)

\(=\left(y_2-y_1\right)\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_3\right)\left(x_3-x_1\right)+\left(y_3-y_2\right)\left(x_2-x_3\right)\le0\)

Vì \(x_1\le x_2\le x_3;y_1\le y_2\le y_3\)

11 tháng 7 2017

ÁP dụng BĐT AM-Gm  ta có: 

\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}\ge\frac{4}{9}\cdotΣ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}\)

ĐẶt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\) thì cần cm

\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}=Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)

\(Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\)

Theo C-S \(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}=\frac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}\ge\frac{\left(Σxy\right)^2}{2xy\left(Σx\right)}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{3}\cdot\left(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

Đúng hay ta có ĐPCM xyar ra khi a=b=c=1

26 tháng 5 2019

\(P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\) 

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=1\left(1\right)\) 

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự:\(b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(P\ge1+\frac{8abc}{8abc}=2\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

:))

26 tháng 5 2019

ở phần cô si phần cuối là bn sai r

vì >= nhưng ở dưới mẫu nên bị đảo lại thành =< nên bn lm như thế k đúng

đay là link giải https://diendan.hocmai.vn/threads/bdt-a-2-b-2-c-2-dfrac-8abc-a-b-b-c-c-a-geq-2.341255/

8 tháng 8 2017

bài này mà giải theo SOS là hơi bị tuyệt vời nhé =)))

8 tháng 8 2017

em moi co lop 7

13 tháng 8 2017

\(P=\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}-1\)

13 tháng 8 2017

ôi trá hình :VVV

31 tháng 3 2021

Đề phải là số thực không âm mới đúng