Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
lp 8 mà khó thế -,-
Có \(4=a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}=4abc\)\(\Leftrightarrow\)\(-abc\ge-1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}=\frac{a+b+c}{4-abc}\le\frac{a+b+c}{4-1}=\frac{a+b+c}{3}\)
Lại có \(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^4\le81\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{3}{3}=1\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
#)Tham khảo trong hai link này nhé :
Chứng minh: $\frac{1}{{4 - ab}} + \frac{1}{{4 - bc}} + \frac{1}{{4 - ca}} \le ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1 ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
P/s : Vô thống kê hỏi đáp ms dùng đc link nhé !
Ta có: \(a^4+b^4+c^4=3\Rightarrow0\le a^4;b^4;c^4\le3\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt[4]{3}\)
=> \(ab,bc,ac\le\sqrt[4]{9}\)
Xét: \(\frac{18}{4-x}\le x^2+5,\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
<=> \(18\le\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\)
<=> \(\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)luôn đúng với \(\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
Như vậy:
\(\frac{18}{4-ab}+\frac{18}{4-bc}+\frac{18}{4-ac}\le\left(ab\right)^2+5+\left(bc\right)^2+5+\left(ac\right)^2+5\)
\(=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+15\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+c^4}{2}+15\)
\(=a^4+b^4+c^4+15=18\)
=> \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\le1\)
"=" xảy ra <=> a=b=c=1
Vì a+b+c=1 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=2+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)
Do đó
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{ab}\right)+\left(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{bc}\right)+\left(\frac{ca}{a^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\cdot\frac{a^2+b^2}{ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{c^2+b^2}\cdot\frac{c^2+b^2}{bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{a^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{ca}}+\frac{3}{4}\)
\(=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{15}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Theo giả thiết ta có: các bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh
\(\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}\le1\)
\(\Rightarrow a\left(4-a\right)\left(4-b\right)+b\left(4-b\right)\left(4-c\right)\)\(+c\left(4-c\right)\left(4-a\right)\le\left(4-a\right)\left(4-b\right)\)\(\left(4-c\right)\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le4\)
Bất đẳng thức trên mang tính hoán vị giữa các bất đẳng thức nên không mất tính tổng quát ta giả swr c nằm giwuax a và b khi đó ta có:
\(a\left(a-c\right)\left(b-c\right)\le0\)
Thực hiện phép khai triển ta được: \(a^2b+c^2a\le a^2c+abc\)rồi cộng thêm \(\left(b^2c+abc\right)\)vào 2 vế ta được:
\(a^2b+b^2c+c^2a+abc\)\(\le a^2c+b^2c+2abc=c\left(a+b\right)^2\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức AM-GM ta có:
\(c\left(a+b\right)^2=\frac{1}{2}2c\left(a+b\right)\left(a+b\right)\)\(\le\frac{\left(2c+a+b+a+b\right)^3}{2.27}=4\)nên Bất Đẳng Thức đã được chứng minh
Vậy \(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\le1\)( đpcm )
cái này dễ lắm. thế này nhé. \(a^4\ge0\), b và c cũng thế. suy ra để \(a^4+b^4+c^4=3\)thì a,b,c phải bằng 1 (vì a,b,c nguyên dương hay lớn hơn 0). thế là thay vào rồi suy ra biểu thức kia nhỏ hơn hoặc bằng 1 thôi
mình giải đúng 100%. tích đúng cho mình nhé
a=b=c=1
các bạn cho mk vài li-ke cho tròn 820 với