Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn ab+bc+ca=1 Tính tổng:S=\(a.\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}...

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

Bùi Thị Ngọc Anh

30 tháng 6 2018

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn ab+bc+ca=1

Tính tổng:S=\(a.\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b.\sqrt{\dfrac{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+b^2}}+c.\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}\)

#Toán lớp 9

Phùng Khánh Linh

30 tháng 6 2018

Căn bậc hai. Căn bậc ba

Đúng(0)

Thành Trương

1 tháng 7 2018

Hỏi đáp Toán

Đúng(0)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

VUX NA

21 tháng 8 2021

Cho a,b,c là cái số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = \(\dfrac{\left(1-c\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}+\dfrac{\left(1-a\right)^2}{\sqrt{2\left(c+a\right)^2+ca}}\) + \(\dfrac{\left(1-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2+ab}}\)

#Toán lớp 9

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

21 tháng 8 2021

\(Q=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{2}{3}\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b+c}\)

\(Q\ge\dfrac{2}{3}.\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)=\dfrac{4}{3}\)

Đúng(0)

VUX NA

21 tháng 8 2021

∑ cái này nghĩa là gì ạ

Đúng(0)

Vũ Tiền Châu

2 tháng 1 2018

từ giả thiết, ta có \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\) đặt \(\left(\dfrac{1}{xy};\dfrac{1}{yz};\dfrac{1}{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\) =>\(\left(\dfrac{ac}{b};\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a}\right)=\left(\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2}\right)\) ta có...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

Ctuu

14 tháng 3 2022

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn:

\(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)+2021\)

Tìm giá trị lớn nhất của P=\(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)

#Toán lớp 9

Người Vô Danh

14 tháng 3 2022

ko biết mk làm có đúng ko nhma có gì sai thì đừng trách mk nhé

\(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\dfrac{63}{a^2+b^2+c^2}\)

\(6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{a}{ac}\right)+2021\ge\dfrac{54}{ab+bc+ac}+2021\ge\dfrac{54}{a^2+b^2+c^2}+2021\)

<=>\(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{2021}{9}\)

\(p^2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\right)^2\)

áp dụng bđt \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

\(p^2\le3.\left(\dfrac{1}{3\left(2a^2+b^2\right)}+\dfrac{1}{3\left(2b^2+c^2\right)}+\dfrac{1}{3\left(2c^2+a^2\right)}\right)=\dfrac{1}{2a^2+b^2}+\dfrac{1}{2b^2+c^2}+\dfrac{1}{2c^2+a^2}\)

\(< =>p^2\le\dfrac{9}{2a^2+b^2+2b^2+c^2+2c^2+a^2}\)

<=> \(p^2\le3.\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{2021}{3}< =>p\le\sqrt{\dfrac{2021}{3}}\)

dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{3}{2021}}\)

Đúng(0)

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 3 2022

\(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)+2021\le6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2021\)

\(\Rightarrow2021\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\sqrt{2021.3}=\sqrt{6063}\)

Từ đó:

\(\sqrt{3\left(2a^2+b\right)}=\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a+b\right)^2}=2a+b\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}\le\dfrac{1}{2a+b}=\dfrac{1}{a+a+b}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)

Cộng vế:

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{\sqrt{6063}}{3}\)

\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{6063}}{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{3}{\sqrt{6063}}\)

Đúng(2)

Linh Le Thuy

11 tháng 10 2018

Cho a,b,c>0 thỏa mãn : \(ab+bc+ca=0\)

C/m: \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)

#Toán lớp 9

Hung nguyen

11 tháng 10 2018

Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.

Đúng(0)

Linh Le Thuy

11 tháng 10 2018

mk viết nhầm

\(ab+bc+ca=1\)

bn giúp mk với

Đúng(0)

Nguyễn Thị Huyền Diệp

21 tháng 3 2022

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR:

\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^3\le\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\)

#Toán lớp 9

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

21 tháng 3 2022

Đẳng thức quen thuộc: \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\) và tương tự cho các mẫu số còn lại

Ta có:

\(\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Mặt khác:

\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\) (Bunhiacopxki)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)

Đúng theo AM-GM:

\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Đúng(2)

Sĩ Bí Ăn Võ

26 tháng 9 2017

Cho a,b,c >0 thỏa mãn: ab+ bc+ca=1. Rút gọn biểu thức:

A= \(a\sqrt{\dfrac{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{a^2+1}}+b\sqrt{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{b^2+1}}+c\sqrt{\dfrac{\left(b^2+1\right)\left(a^2+1\right)}{c^2+1}}\)

#Toán lớp 9

Akai Haruma

Giáo viên

26 tháng 9 2017

Lời giải:

Do \(ab+bc+ac=1\) nên:

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)

\(b^2+1=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c)\)

\(c^2+1=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)\)

Do đó:

\(A=a\sqrt{\frac{(b^2+1)(c^2+1)}{a^2+1}}+b\sqrt{\frac{(a^2+1)(c^2+1)}{b^2+1}}+c\sqrt{\frac{(b^2+1)(a^2+1)}{c^2+1}}\)

\(=a\sqrt{\frac{(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}{(a+b)(a+c)}}+b\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)(c+a)(c+b)}{(b+a)(b+c)}}+c\sqrt{\frac{(b+a)(b+c)(a+b)(a+c)}{(c+a)(c+b)}}\)

\(=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ac)=2\)

Vậy \(A=2\)

Đúng(0)

Sĩ Bí Ăn Võ

26 tháng 9 2017

cảm ơn bạn nhiều

Đúng(0)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

23 tháng 12 2018

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn : \(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2015\)

Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)

#Toán lớp 9

Nguyễn Huy Thắng

24 tháng 12 2018

bai nay t lam roi vao trang chu cua nick thangbnsh cua t keo xuong tim la thay

Đúng(0)

Nguyễn Huy Thắng

24 tháng 12 2018

Câu hỏi của Tuyển Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Đúng(0)

Nguyễn Thị Bình Yên

29 tháng 11 2018

Cho a, b , c dương thỏa mãn a + b + c = abc. Tìm Max

\(S=\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)

#Toán lớp 9

Akai Haruma

Giáo viên

30 tháng 11 2018

Lời giải:
\(a+b+c=abc\)

\(\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc\)

\(\Rightarrow a(a+b+c)+bc=a^2bc+bc\)

\(\Rightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)

\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(a^2+1)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\) (theo BĐT AM-GM ngược dấu)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{b}{\sqrt{ca(b^2+1)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)\)

\(\frac{c}{\sqrt{ab(c^2+1)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)

Cộng theo vế những BĐT thu được ở trên ta có:

\(S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(S_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Đúng(0)

Nameless

11 tháng 12 2017 - olm

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac = 1. Tính

\(P=a\sqrt{\frac{\left(1+c^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\frac{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}\)

#Toán lớp 9

Đức Anh

11 tháng 12 2017

Từ ab + bc + ac =1

=> ab + bc + ac + a² = 1 + a²

=> 1 + a² = (a+b)(a+c) (1)

Tương tự: 1 + b² = (a+b)(b+c) (2)

1 + c² = (a+c)(b+c) (3)

Thay (1) (2) (3) vào P

P= a\(\sqrt{\left(b+c\right)^2}\)+ b\(\sqrt{\left(a+c\right)^2}\)+ c\(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\)

= a|b+c| + b|a+c| + c|a+b|

= a(b+c) + b(a+c) + c(a+b) (do a,b,c >0)

= ab + ac +ab + bc +ac +bc

= 2(ab + ac + bc)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP