Question

[Mi Trần]

Cho abc khác 1 và \(\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}\).Chứng minh a=b=c

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Ta có : \(\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ac+1}{a}\Leftrightarrow a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\)

Từ \(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}\Rightarrow a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\Leftrightarrow a-b=\frac{b-c}{bc}\)(1)

Tương tự : \(b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\Leftrightarrow b-c=\frac{c-a}{ac}\) (2) ; \(c+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{b}\Leftrightarrow c-a=\frac{a-b}{ab}\)(3)

Nhân (1) , (2), (3) theo vế :

\(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(1-\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)=0\)

Vì abc khác 1 nên\(a^2b^2c^2\ne1\) \(\Rightarrow1-\frac{1}{a^2b^2c^2}\ne0\)

Do đó \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0\Rightarrow\)a = b hoặc b = c hoặc c = a

• Với a = b , từ giả thiết ta có b = c => a = b = c
• Với b = c , từ giả thiết ta có c = a => a = b = c
• Với c = a , từ giả thiết ta có a = b => a = b = c

Vậy a = b = c