NC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
21 tháng 7 2020
Theo giả thiết, ta có: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho 5 số, ta được: \(\hept{\begin{cases}a.a.a.b.b\le\frac{a^5+a^5+a^5+b^5+b^5}{5}=\frac{3a^5+2b^5}{5}\\b.b.b.a.a\le\frac{b^5+b^5+b^5+a^5+a^5}{5}=\frac{3b^5+2a^5}{5}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{5\left(a^5+b^5\right)}{5}\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)hay \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)(1) .
Tương tự, ta có: \(\frac{1}{\sqrt{b^5+c^5}}\le\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^5+a^5}}\le\frac{1}{ca\sqrt{c+a}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)()
Xét \(\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\right)^2\le\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\right)\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
23 tháng 1 2019
cái này sai rồi nha.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
áp dụng bđt CBS dạng Engle ta có
\(+\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}\\\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\ge\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b^2+a^2\right)\left(c^2+a^2\right)}=\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}\\\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\end{cases}}\)
\(3=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2+2b^2}\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c>0