Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\sqrt{a^2+2ab+b^2+b^2}+\sqrt{b^2+2bc+c^2+c^2}+\sqrt{c^2+2ca+a^2+a^2}\)
\(M=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(b^{ }+c\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2+a^2}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2+3^2}\ge\sqrt{6^2+3^2}\ge3\sqrt{5}\)
\(dấu\)\("="xảy\) \(ra\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cách khác:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$5(a^2+2ab+2b^2)=[(a+b)^2+b^2](2^2+1^2)\geq [2(a+b)+b]^2$
$\Rightarrow \sqrt{5(a^2+2ab+b^2)}\geq 2a+3b$
Tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế:
$M\sqrt{5}\geq 5(a+b+c)$
$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{5}(a+b+c)=3\sqrt{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Chú ý: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\) là ok liền:D
Mấy bạn ơi , cho tớ hỏi:
Luật tính điểm hỏi đáp là gì?
Làm thế nào để câu trả lời của mình đứng đầu tiên trong các câu trả lời?
Ai trả lời nhanh mình tích cho.
a/ Nếu (a + b) < 0 thì bất đẳng thức đúng
Với (a + b) \(\ge0\)thì ta có
\(2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5}{4}\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
b/ Áp dụng BĐT BCS :
\(1=\left(1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b}+1.\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{3}\)
Áp dụng câu a/ :
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{9}\)
Vậy min P = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) khi a=b=c=1/9
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM dạng $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$ ta có:
\(2a^2+ab+2b^2=\frac{4a^2+2ab+4b^2}{2}=\frac{(a+b)^2+3(a^2+b^2)}{2}\geq \frac{(a+b)^2+\frac{3}{2}(a+b)^2}{2}=\frac{5}{4}(a+b)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{2a^2+ab+2b^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+b)\)
Hoàn toàn tương tự:
\( \sqrt{2b^2+bc+2c^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(b+c); \sqrt{2c^2+ac+2a^2}\geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+c)\)
Cộng theo vế:
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\geq \sqrt{5}(a+b+c)=\sqrt{5}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Dat \(P=\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)
Ta co:
\(\frac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\ge\frac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tuong tu:
\(\frac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}\ge\frac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\frac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\frac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
Cân bằng hệ số:
Giả sư: \(2a^2+ab+2b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\) (ta đi tìm x ; y)
\(=xa^2+x.2ab+xb^2+ya^2-y.2ab+yb^2\)
\(=\left(x+y\right)a^2+2\left(x-y\right)ab+\left(x+y\right)b^2\)
Đồng nhất hệ số ta được: \(\hept{\begin{cases}x+y=2\\2\left(x-y\right)=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2x+2y=4\\2x-2y=1\end{cases}}\Leftrightarrow4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\Leftrightarrow y=\frac{3}{4}\)
Do vậy: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\)
Tương tự với hai BĐT còn lại,thay vào,thu gọn và đặt thừa số chung,ta được:
\(VT\ge\sqrt{\frac{5}{4}}.2.\left(a+b+c\right)=\sqrt{\frac{5}{4}}.2.3=3\sqrt{5}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1
Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{2a^2+2b^2+2c^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự ta có :
\(\dfrac{b}{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng từng vế BĐT :
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{\sqrt{5}\left(a+b\right)}{2}\)
Tương tự:\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}\left(b+c\right)}{2}\);\(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}\left(c+a\right)}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:\(VT\ge\frac{\sqrt{5}\left(2a+2b+2c\right)}{2}=\sqrt{5}\left(a+b+c\right)=\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)