K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
8 tháng 3 2023

Ta chứng minh BĐT sau:

\(\dfrac{1}{x^3+x+2}\ge\dfrac{-x^2+3}{8}\) với \(x>0\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(x^2-3\right)\left(x^3+x+2\right)+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^3+2x^2+x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{-a^2+3}{8}+\dfrac{-b^2+3}{8}+\dfrac{-c^2+3}{8}=\dfrac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{8}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

11 tháng 12 2020

1/a+1/b+1/c=0

=>(ab+ac+bc)/abc=0

=> ab+ac+bc=0

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0

=> a^2+b^2+c^2=0

Bạn xem lại đề nhé.

25 tháng 5 2021

a) \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\)

Thấy tử và mẫu của phân số đều lớn hơn 0 => \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)

b)\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2a+1\right)+\left(c^2-2a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)

Dấu = xra khi a=b=c=1

25 tháng 5 2021

b)

\(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1 2023

Lời giải:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$a-b=b-c=c-a=0$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$

Khi đó:

$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$ 

Ta có đpcm.

21 tháng 7 2023

Ta có

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (1)

Ta có

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\) (2)

Từ (1) và (2)

\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

6 tháng 8 2023

Có : a + b + c = 0

=> (a + b)5 = (-c)5

      a5 + 5a4b + 10a3b+ 10a2b3 + 5ab4 + b5 = -c5

      a5 + b5 + c5 = -5a4b - 10a3b2 - 10a2b3 - 5ab4

       a5 + b5 + c5 = -5ab(a3 + 2a2b + 2ab2 + b3)

      a5 + b5 + c= -5ab[(a3 + b3) + (2a2b + 2ab2)]

      a5 + b5 + c5 = -5ab[(a + b)(a2 - ab + b2) + 2ab(a + b)]

      a5 + b5 + c5 = -5ab(a + b)(a2 + b2 + ab)  

      a5 + b5 + c5 = 5abc(a2 + b2 + ab)   (do a+b+c=0=> a+b=-c)

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc(2a2 + 2b2 + 2ab)

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 +(a2 + 2ab + b2)]

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc[a2 + b2 + (a + b)2]

      2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)    (do a+b=-c=> (a +b )2 = c2

    \(\Leftrightarrow\) \(a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy...