AP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
H
13 tháng 4 2021
Cho phép mình giải max bài này ạ:
Ta có:
\(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\overset{cosi}{\le}\dfrac{a+b+a+c}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{2b+ac}\le\dfrac{b+c+b+a}{2};\sqrt{2c+ab}\le\dfrac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
22 tháng 1 2021
Do \(a,b,c\geq 0\) và \(a+b+c=1\) nên \(a,b,c\le1\).
Xét hiệu \(5a+4-\left(a+2\right)^2=a\left(1-a\right)\ge0\)
\(\Rightarrow5a+4\ge\left(a+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a+4}\ge a+2\).
Tương tự, \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\).
Cộng vế với vế ta có \(T\ge a+b+c+6=7\).
Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = c = 0 và các hoán vị.
Vậy Min T = 7 khi a = 1; b = c = 0.
T
22 tháng 1 2021
Một ý tưởng để có được bất đẳng thức phụ \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\forall0\le a\le1.\)
Do $0\leq a \leq 1$ nên $a\ge a^2.$
Ta có: \(\sqrt{5a+4}=\sqrt{a+4a+4+\ 4}\ge\sqrt{a^2+4a+4+4}=a+2\)
Ngoài ra còn một cách là giả sử \(\sqrt{5a+4}\ge ma+n\)
rồi đi chọn $m,n$ theo điểm rơi.
Không biết còn cách nào khác không nhỉ?
TD
1
12 tháng 8 2023
Ta có:
P = a + b + c ≤ a + b + a + b = 2(a + b) ≤ 2(-1) = -2
Ta cũng có:
P = a + b + c ≤ a + b + c - 2abc ≥ a + b + c - 2(-1)(-1)(-1) = -3
Vậy GTNN của P = -3 và GTLN của P = -2.
26 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(\sqrt{2a+b}=\sqrt{\left(2a+b\right).1}\le\dfrac{2a+b+1}{2}\)
CMTT: \(\sqrt{2b+c}\le\dfrac{2b+c+1}{2},\sqrt{2c+a}\le\dfrac{2c+a+1}{2}\)
\(\Rightarrow T=\sqrt{2a+b}+\sqrt{2b+c}+\sqrt{2c+a}\le\dfrac{2a+b+1+2b+c+1+2c+a+1}{2}=\dfrac{3\left(a+b+c\right)+3}{2}=\dfrac{3+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
\(maxT=3\Leftrightarrow2a+b=2b+c=2c+a=1=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
XO
30 tháng 12 2021
\(4M=\dfrac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\dfrac{4}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}\)
\(=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
=> 8M \(\le\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}=2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=8\)
=> \(M\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 3/4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{a+a+b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
Cộng vế:
\(M\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1\)
\(M_{max}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{3}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 5 2021
\(a+b+c=\sqrt{6063}\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2021}}+\dfrac{b}{\sqrt{2021}}+\dfrac{c}{\sqrt{2021}}=\sqrt{3}\)
Đặt \(\left(\dfrac{a}{\sqrt{2021}};\dfrac{b}{\sqrt{2021}};\dfrac{c}{\sqrt{2021}}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{3}\)
\(P=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}+\dfrac{2y}{\sqrt{2y^2+1}}+\dfrac{2z}{\sqrt{2z^2+1}}\)
Ta có đánh giá:
\(\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+1}}\le\dfrac{3\sqrt{15}x+2\sqrt{5}}{25}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(9x^2+10\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự và cộng lại:
\(P\le\dfrac{6\sqrt{15}\left(x+y+z\right)+12\sqrt{5}}{25}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)
Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)
3 tháng 1 2020
P = 4a + 7b + 10c + \(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{9c}\)
P = \(3\left(a+2b+3c\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{9c}\right)\)
\(\ge3.4+2\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{9c}}=\frac{53}{3}\)
Vây GTNN của P là \(\frac{53}{3}\)khi \(a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}\)