DO
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 7 2017
Lời giải
Cách giải đơn giản nhất là khai triển
\(3(a^8+b^8+c^8)\geq (a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^8+b^8+c^8)\geq a^5(b^3+c^3)+b^5(c^3+a^3)+c^5(a^3+b^3)\)
\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^5-b^5)+(b^3-c^3)(b^5-c^5)+(c^3-a^3)(c^5-a^5)\geq 0(\star)\)
Xét \((a^3-b^3)(a^5-b^5)=(a-b)^2(a^2+b^2)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)\geq 0\) với mọi \(a,b>0\)
và tương tự với các biểu thức còn lại.
Suy ra BĐT \((\star)\) luôn đúng.
Ta có đpcm
Đây chính là một dạng của BĐT Chebyshev:
Với dãy số thực \(a_1\leq a_2\leq ....\leq a_n\) . Nếu tồn tại dãy số thực\(b_1\leq b_2\leq .... \leq b_n\) thì \(n(a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7 2017
Câu 2:
Tương tự câu 1 thôi.
Do \(a+b=2\) nên bài toán tương đương: \(2(a^8+b^8)\geq (a^7+b^7)(a+b)\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\geq a^7b+ab^7\Leftrightarrow (a^7-b^7)(a-b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^6+a^5b+....+ab^5+b^6)\geq 0(\star)\)
Xét \(Q=a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6\)
\(Q=(a+b)(a^5+b^5)+a^2b^2(a^2+b^2+ab)\)
Dựa vào điều kiện \(a+b=2\) và biến đổi, ta thu được \(Q=16(2-ab)^2-8ab(2-ab)-a^3b^3\)
Đặt \(ab=t\Rightarrow Q=-t^3+24t^2-80t+64\)
\(\Leftrightarrow Q=(1-t)(t-8)^2+7t^2\)
Với mọi \(a,b\in\mathbb{R}\) ta luôn có \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow t\leq 1\). Do đó \(Q\geq 0\)
Kéo theo BĐT \((\star)\) luôn đúng, bài toán luôn đúng. Do đó ta có đpcm.
IF
1
18 tháng 8 2022
\(\Rightarrow a^7\left(a-b\right)+b^7\left(b-a\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^7-b^7\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot A>=0\), với A>=0
=>Điều này luôn đúng
YY
5 tháng 7 2018
áp dụng bất đằng thức buinhia
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow1\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right)2\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)
bài cuối tương tự
HN
5 tháng 7 2018
a, \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Với mọi a, b ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Mà a + b = 1 \(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)( đpcm )
Các câu b, c tương tự
5 tháng 7 2018
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{8}\)
\(a^8+b^8\ge\dfrac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{128}\)
25 tháng 8 2020
Ta có: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7\left(a+b\right)\ge8\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+7ab\left(a+b\right)\ge8ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Ta có: \(VP=8\sqrt{ab}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\cdot2ab}\le^{am-gm}4\sqrt{ab}\left(a+b\right)^2\)
\(VT=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2+4ab\right]\ge^{am-gm}\left(a+b\right)4\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge VP\)
=> ĐPCM
NH
0
5 tháng 3 2018
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\)
BĐT\(\Leftrightarrow a^7\left(a-1\right)+b^7\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^7\left(a-\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}b\right)+b^7\left(b-\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^7\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}b\right)+b^7\left(\dfrac{1}{2}b-\dfrac{1}{2}a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}b\right)\left(a^7-b^7\right)\ge0\)(luôn đúng vì \(a\ge b\))
\(\Rightarrowđpcm\)
7 tháng 2 2017
Cái đề này sao sao ý :
\(a^8\ge a^7vs\forall a\)
\(b^8\ge b^7vs\forall b\)
\(\Rightarrow a^8+b^8\ge a^7+b^7vs\forall ab\)
Đâu cần a + b =2 âu
PH
0
Cần CM : \(a^{k+1}-a^k\ge a-1\)\(\left(k\inℕ\right)\) (1)
\(\Leftrightarrow\)\(a^k\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a^k-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\left(a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-a^{k-4}+...+1\right)\ge0\) ( đúng )
=> (1) đúng
Áp dụng vào bài toán,với k = 7 ta có \(\hept{\begin{cases}a^8-a^7\ge a-1\\b^8-b^7\ge a-1\end{cases}}\Rightarrow a^8+b^8-a^7-b^7\ge a+b-2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^8+b^8\ge a^7+b^7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Thay b = 2 - a vào phân tích ta được:
VT - VP =