Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(4\sqrt{ab}=2\sqrt{a.4b}\le a+4b\)
\(4\sqrt{bc}=2\sqrt{b.4c}\le b+4c\)
\(4\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{a.4b.16c}\le\frac{a+4b+16c}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta được:
\(8a+3b+4\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}\right)\le\frac{28}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{28\left(a+b+c\right)}{3+3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{14}{3}-\frac{14\left(a+b+c-1\right)^2}{3\left[\left(a+b+c\right)^2+1\right]}\le\frac{14}{3}\)
\(\Rightarrow Max_P=\frac{14}{3}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a+b+c=1\)và \(a=4b=16c\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{16}{21};b=\frac{4}{21};c=\frac{1}{21}\)
Cho các số thực dương a, b sao cho \(2a^2 +b^2=2a+b\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P= \) \(a-b+3ab\).
Lời giải:
Áp dụng BĐT Am-Gm và Cauchy-Schwarz:
\(P+4=\frac{3b+3c}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12b-12c}{2a+3c}+4=\frac{3b}{2a}+\frac{3c}{2a}+\frac{2a}{3b}+\frac{2a}{3b}+\frac{3c}{3b}+\frac{12b+8a}{2a+3c}\)
\(=(\frac{3b}{2a}+\frac{2a}{3b})+(\frac{3c}{2a}+\frac{3c}{3b})+(\frac{2a}{3b}+\frac{2a}{2a})+\frac{4(3b+2a)}{2a+3c}-1\)
\(\geq 2\sqrt{\frac{3b}{2a}.\frac{2a}{3b}}+3c.\frac{4}{2a+3b}+2a.\frac{4}{3b+2a}+\frac{4(3b+2a)}{2a+3c}-1\)
\(=2+\frac{4(3c+2a)}{2a+3b}+\frac{4(3b+2a)}{2a+3c}-1\geq 2+2\sqrt{\frac{4(3c+2a)}{2a+3b}.\frac{4(3b+2a)}{2a+3c}}-1\)
\(=2+8-1=9\)
\(\Rightarrow P\geq 5\)
Vậy $P_{\min}=5$
\(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{4y}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+4y}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)
c1:áp dụng bđt AM-GM:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=1008^2\)
=> đáp án A
c2: tương tự c1 . đáp án b
3.
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ab}}=2\)
Đáp án A
4.
\(a^2-a+1=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) ;\(\forall a\)
Đáp án A
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=2\sqrt{2\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)
\(=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c;\)\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)
Do vậy \(Q\ge\frac{11a+11b+12c}{3a+2b+2c+2a+3b+2c+\frac{a+b+4c}{2}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)\)
a) \(P=1957\)
b) \(S=19.\)
Ta có: \(\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{a+b+\frac{4}{3}}{3}=\frac{a+b}{3}+\frac{4}{9}\)
Tương tự rồi cộng các vế của BĐT lại, ta được: \(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}P\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}+\frac{4}{3}=2\Rightarrow P\le\sqrt[3]{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(P=\sqrt{c\left(a+b\right)}+\frac{\sqrt[3]{8.8.\left(2b+3c\right)}}{4}\)
\(\le\frac{c+a+b}{2}+\frac{8+8+2b+3c}{12}=\frac{6a+8b+9c+16}{12}\le\frac{32+16}{12}=4\)