Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta co: a3b2=(a2b2)a , a2b3=(a2b2)b => a3b2>a2b3( vi a>b) (1)
b3c2=(b2c2)b , b2c3=(b2c2)c => b3c2>b2c3( vi b>c) (2)
c3a2=(a2c2)c , a3c2=(a2c2)a => c3a2<a3c2 ( vi c<a) (3)
Vi b+c>a ( bdt trong tam giac)
=> dpcm
Bai nay phai xet trong tam giac thi moi dung
\(Q=\frac{a^4}{ab+ca}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{bc+ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}\ge\frac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
Bài này bạn có thể sử dụng BĐT Holder bậc 3.
BĐT Holder: \((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)
Cách CM: Sử dụng AM-GM:
\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3amx}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)}}\)
Làm như vậy với các phân thức tương tự và cộng theo vế ta thu được đpcm
(Thực ra vì nó kinh điển rồi nên đi thi không phải cm đâu)
Bây giờ sử dụng BĐT Holder bậc 3 cho bài toán:
\((a^3+b^3+c^3)(a^3+b^3+c^3)(1+1+1)\geq (a^2+b^2+c^2)^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 81\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3\)
P/s: Bạn NHT toàn thích dùng dao mổ trâu để xẻ thịt gà vv
\(a^5+a+a+a>=4\sqrt[4]{a^8}=4a^2\)
Làm tương tự rồi cộng vế ta được:
\(VT\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(a+b+c\right)\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=4.3-3\sqrt{3.3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cách khác :
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương ta có:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2\left(a+b\right)}{4\left(a+b\right)}}=a\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge b;\dfrac{c^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge c\)
Cộng theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)(đpcm)
Câu 1:
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ab-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\cdot\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]}{2}>=0\)
=>\(a^3+b^3+c^3>=3abc\)
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\\\dfrac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\\\dfrac{c}{a}=1\Rightarrow c=a\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c\)
\(\dfrac{a^3b^2c^{1930}}{a^{1935}}=\dfrac{a^3a^2a^{1930}}{a^{1935}}=\dfrac{a^{1935}}{a^{1935}}=1\)
Vậy \(\dfrac{a^3b^2c^{1930}}{a^{1935}}=1\)