DA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
1 tháng 5 2019
b) Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+2ab+b^2+4ab}\)\(=\frac{4}{2+\left(a+b\right)^2+4ab}\) (1)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(4ab=4.\sqrt{ab}.\sqrt{ab}\le\frac{4.\left(a+b\right)^2}{4}=\left(a+b\right)^2=1\)(2)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\ge\frac{4}{2+\left(a+b\right)^2+4ab\ge}\frac{4}{3+\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{4}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
KB
1 tháng 5 2019
P/s : Làm siêu tắt
Ta có :
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)^5+\left(1+\frac{b}{a}\right)^5\ge\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)\left[\left(1+\frac{a}{b}\right)^3+\left(1+\frac{b}{a}\right)^3\right]\ge\left(1+\frac{a}{b}\right)^2\left(1+\frac{b}{a}\right)^2\left(2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\frac{\left(a+b\right)^2.\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}.\left(2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\frac{4ab.4ab}{a^2b^2}.\left(2+2\right)=16.4=64\)
( AD BĐT phụ \(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right);x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) và BĐT Cô - si )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b;a,b>0\)
21 tháng 4 2018
Ta có:\(a+b=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow2\ge a+b\)
\(N=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}=2-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}\le2-\frac{4}{a+1+b+1}\)
\(=2-\frac{4}{a+b+2}\le2-\frac{4}{2+2}=1\)
Nên GTLN của N là 1 đạt được khi \(a=b\Rightarrow2a=2a^2\Rightarrow2a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=1\)
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
3 tháng 1 2018
Áp dụng Cauchy, ta có:
\(a^4+b^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^4+b^2+2ab^2}\le\frac{1}{2a^2b+2ab^2}\)
Tượng tự:
\(\frac{1}{b^4+a^2+2a^2b}\le\frac{1}{2a^2b+2ab^2}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{2ab\left(a+b\right)}\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\)\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=2\Rightarrow a+b=2ab\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
Áp dụng Schwarzt: \(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\ge a+b\ge2\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=1
3 tháng 1 2018
Áp dụng bđt cosi ta có :
A < = 1/2a^2b+2/ab^2 + 1/2ab^2+2a^2b
= 1/2ab . (1/a+b + 1/a+b) = 1/2ab . 2/a+b = 1/(a+b).(ab)
< = 1/\(\sqrt{ab}.2.ab\) = 1/2\(\sqrt{ab}^3\)
Có : 2 = 1/a + 1/b >= 2\(\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
=> \(\sqrt{\frac{1}{ab}}\)< = 1
=> 1/ab < = 1
=> ab > =1
=> A < = 1/2.1 = 1/2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1
Vậy GTLN của A = 1/2 <=> a=b=1
Tk mk nha
31 tháng 10 2017
\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13\)có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}\)
24 tháng 9 2019
A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}A=aa−1+bb−1+cc−4=1−a1+1−b1+1−c4
=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13=3−(a1+b1+c4)≤3−a+b+c(1+1+2)2=3−16=−13có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}⇔a=b=41;c=21
9 tháng 9 2019
1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
9 tháng 9 2019
b/
\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=16+8+20=44\)
\(\Rightarrow B\ge11\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
TM
27 tháng 5 2017
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
TM
27 tháng 5 2017
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
do a>0, b>0 nên 1=a+b+3ab\(\ge3\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{27}\ge3\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{81}\ge\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{9}\ge ab\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt{ab}\)do đó
P=\(\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2=\frac{6ab}{a+b}-\left(a^2+b^2\right)\le\frac{6ab}{2\sqrt{ab}}-2ab=-2ab+3\sqrt{ab}=-2\left(ab-\frac{3}{2}\sqrt{ab}\right)\)
\(=-2\left[ab-2\sqrt{ab}\cdot\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{5}{6}\sqrt{ab}\right]\)
\(=-2\left(\sqrt{ab}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\sqrt{ab}\le\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{9}\)
vậy maxP=\(\frac{7}{9}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b>0\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}}\)