Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a, b)
Vậy \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
159. Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh: \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) có:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{a^2b}{b}+\dfrac{b^2c}{c}+\dfrac{c^2a}{a}\)
\(=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu " = " khi a = b = c = 1
Vậy...
Lời giải:
\(\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ac}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\geq a+b+c\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+bc}{b+c}-c+\frac{b^2+ac}{a+c}-a+\frac{c^2+ab}{a+b}-b\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2-c^2}{b+c}+\frac{b^2-a^2}{a+c}+\frac{c^2-b^2}{a+b}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c}\right)+b^2\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\right)+c^2\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2(a-b)(a+b)+b^2(b-c)(b+c)+c^2(c-a)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-c^2)+c^2(c^2-a^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2}{2}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng BĐT Svacxơ:
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{cd}+\dfrac{1}{da}\ge\dfrac{4}{ab+bc+cd+da}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{4}{ab+bc+cd+da}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+d^2}\)
Ta cần c/m: \(\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2\ge4\)
Áp dụng BĐT Svacxơ: \(\left(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}+\dfrac{d^2}{1}\right)^2\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^{2^2}}{16}\)
mà a+b+c+d=4 nên: \(\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^4}{16}\ge\dfrac{64}{16}=4=VP\)
Vậy ta có đpcm.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có hệ quả quen thuộc sau:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ac\Rightarrow \frac{3}{ab+bc+ac}\geq \frac{3}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{(a+b+c)^2}\)
Do đó:
\(1+\frac{3}{ab+bc+ac}\geq 1+\frac{9}{(a+b+c)^2}\) (1)
Ta sẽ đi chứng minh \(1+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq \frac{6}{a+b+c}\) (2)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{3}{a+b+c}-1\right)^2\geq 0\) (đúng)
Từ (1),(2) suy ra \(1+\frac{3}{ab+bc+ac}\geq \frac{6}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)
Do : a > 0 , b > 0
=> a + b > 0
Nhân từng vế của BĐT cần CM với a + b , ta có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\) ≥ \(\left(\dfrac{4}{a+b}\right)\left(a+b\right)\)
<=> 1 + \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) + 1 ≥ 4
<=> 2 + \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 4 ( 1)
Áp dụng BĐT : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2
(1) <=> 2 + 2 ≥ 4 ( luôn đúng )
KL.....
Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Anh Thy - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
1) xét hiệu
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0
<=> ab+b2+a2+ab-4ab ≥ 0
<=> a2 -2ab+b2 ≥ 0
<=> (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Xét hiệu VT - VP
\(\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ab+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{a^2+ab-bc-a^2}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{b^2+bc-ac-b^2}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{c^2+ac-ab-c^2}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
Do a,b,c bình đẳng nên giả sử a\(\ge\)b\(\ge\)c, khi đó \(b\left(a-c\right)\)\(\ge\)0, c(b-a)\(\le\)0, a(c-b)\(\le\)0
\(a^3\ge b^3\ge c^3=>abc+a^3\ge abc+b^3\ge abc+c^3\)=>\(\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}\le\dfrac{b\left(a-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}\)
=> VT -VP \(\le\) \(\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{ab-ac}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{ac-ab}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{a\left(b-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}-\dfrac{a\left(b-c\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
mà \(\dfrac{1}{b\left(ac+b^2\right)}\le\dfrac{1}{c\left(ab+c^2\right)}\) nên VT-VP <0 đpcm
Nhân 2 vế cho ab(a+b) dương ta có:
`(a+b)^2>=4ab`
`<=>(a-b)^2>=0` luôn đúng
Dấu "=" `<=>a=b`