NT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TV
0
7 tháng 6 2021
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
GN
0
HB
1
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
Bài làm:
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=2\\\left(a+b\right)^2=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a^2-2ab+b^2=2\\a^2+2ab+b^2=3\end{cases}}\)
=> \(\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)=3+2\)
<=> \(2\left(a^2+b^2\right)=5\)
=> \(a^2+b^2=\frac{5}{2}\)
Thay vào tính được: \(\frac{5}{2}+2ab=3\Leftrightarrow2ab=\frac{1}{2}\Rightarrow ab=\frac{1}{4}\)
Vậy \(a^2+b^2=\frac{5}{2}\) và \(ab=\frac{1}{4}\)
\(\left(a-b\right)^2=2\)\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2=2\)(1)
\(\left(a+b\right)^2=3\)\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=3\)(2)
Trừ (2) cho (1) ta được: \(\left(a^2+2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)=3-2\)
\(\Leftrightarrow4ab=1\)\(\Leftrightarrow ab=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=3-2.\frac{1}{4}=\frac{5}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2=\frac{5}{2}\)và \(ab=\frac{1}{4}\)