Question

[Nguyễn Thị Mai Anh]

cho a b c thuộc z p là số nguyên tố lẻ ; a b c đôi một nguyên tố cùng nhau. CMR B = ( a + b + c)^p + ( a - b - c ) + ( b - c - a )^p + ( c - a - b )^p  chia hết cho abc

Answer 1

[Le Thi Khanh Huyen]

Đặt \(p=2k+1\)( phụ chú : vì p là số nguyên tố lẻ )

 \(x=a-b-c\)

\(y=b-c-a\)

\(z=c-a-b\)

\(\Rightarrow-\left(x+y+z\right)=a+b+c\)

\(\Rightarrow B=x^{2k+1}+y^{2k+1}+z^{2k+1}-\left(x+y+z\right)^{2k+1}\)

\(=\left(x^{2k+1}+y^{2k+1}\right)-\left[\left(x+y+z\right)^{2k+1}-z^{2k+1}\right]\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^{2k}-x^{2k-1}y+....+y^{2k}\right)-\left(x+y\right)\left[\left(x+y+z\right)^{2k}+\left(x+y+z\right)^{2k-1}z+...+z^{2k}\right]\)chia hết cho \(x+y=-2c\)

\(\Rightarrow B\text{⋮}c\)

Tiếp, lại có :

\(B=x^{2k+1}+y^{2k+1}+z^{2k+1}-\left(x+y+z\right)^{2k+1}\)

\(=\left(x^{2k+1}+z^{2k+1}\right)-\left[\left(x+y+z\right)^{2k+1}-y^{2k+1}\right]\)

\(=\left(x+z\right)\left(x^{2k}-x^{2k-1}z+...+z^{2k}\right)-\left(x+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^{2k}+\left(x+y+z\right)^{2k-1}y+...+y^{2k}\right]\)chia hết cho \(x+z=-2b\)

\(\Rightarrow B\text{⋮}b\)

CMTT, có \(B\text{⋮}a\)

Mà \(a,b,c\)đôi một nguyên tố cùng nhau ( GT )

\(\Rightarrow B\text{⋮}abc\)

Vậy ...